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Annales des Télécommunications

, Volume 33, Issue 3–4, pp 74–86 | Cite as

Emploi de représentations polynomiales a plusieurs indéterminées pour le décodage de codes redondants linéaires

  • Gérard Battail
  • Philippe Godlewski
Article

Analyse

Cet article est consacré à l’emploi, pour le décodage pondéré de codes redondants en blocs (n, k),de représentations de ces codes par des polynômes à plusieurs indéterminées. Deux représentations sont envisagées, l’une à nindéterminées, associées chacune à un symbole du mot; l’autre, qui est la plus générale, à nqindéterminées, q étant la taille de l’alphabet, du premier degré par rapport à chacune d’elles et homogène de degré npar rapport à leur ensemble. Ces représentations sont équivalentes à la donnée de la liste des mots du code, mais sont des êtres mathématiques sur lesquels les opérations utiles au décodage s’expriment aisément. La substitution des probabilités a prioriaux indéterminées, dans le polynôme homogène, permet d’obtenir les expressions des probabilités a posteriori.On utilise en particulier ces représentations pour généraliser le décodage par répliques à des codes linéaires et un canal sans mémoire, mais quelconques par ailleurs. Les représentations homogènes à nqindéterminées de deux codes linéaires duaux sont reliées par une formule qui généralise l’identité de Mc Williams. Appliquée aux algorithmes de décodage, cette relation permet la transformation d’une règle de décision formulée en fonction du code qu’il s’agit de décoder en une règle formulée en fonction de son dual. On retrouve ainsi, sous une forme simplifiée mais équivalente, la règle de décision de Hartmann et Rudolph.

Abstract

This paper is intended to weighted decoding of redundant block codes (n, k)by the use of multiindeterminates polynomial representations of these codes. Two representations are considered: the first one has nindeterminates, each associated with a symbol position in the word. The second and more general one has nqindeterminates, q being the alphabet size, and is of the first degree in each indeterminate, and homogeneous of degree nin all indeterminates. These representations are equivalent to the list of the codewords, but the decoding processes are easily expressed as mathematical operations on them. Substituting a prioriprobabilities of the symbols to the indeterminates in the homogeneous representation also provides expressions of their a posterioriprobabilities. These representations are especially useful in generalizing replication decoding to any linear code and memoryless channel. The homogeneous representations of two dual linear codes are related by a formula wich generalizes McWilliams’ identity. When applied to decoding algorithms, this relation transforms a decision rule in terms of the code to be decoded into a rule in terms of its dual code. In a simpler but equivalent form, it results in the decision rule of Hartmann and Rudolph.

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Copyright information

© Institut Telecom / Springer-Verlag France 1978

Authors and Affiliations

  • Gérard Battail
    • 1
  • Philippe Godlewski
    • 1
  1. 1.Laboratoire de théorie des communicationsl’Ecole Nationale Supérieure des TélécommunicationsParis Cedex 13

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