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Annales des Télécommunications

, Volume 25, Issue 5–6, pp 217–243 | Cite as

Deux applications nouvelles des relations entre transformées de Laplace et de Fourier: transformations non linéaires des signaux aléatoires, signaux aléatoires de renouvellement

  • Georges Bonnet
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tend vers

inclus dans

élément de

dans un voisinage de

implique

quel que soit

\(\left( {\begin{array}{*{20}c} m \\ p \\ \end{array} } \right)\)

coefficient du binôme à la puissancem

!

fonction factorielle: μ ! = Γ (μ+1)

O(ɛ)

reste de l’ordre de grandeur de ɛ

¦s¦

module des

*

conjuguée complexe des

(X *Y)(t)

produit de convolution

<Φ,H>

forme linéaire (ou produit scalaire fonctionnel)

<μ¦ν>

produit scalaire entre vecteurs ou bracket

args

argument de la variable complexes

A+km, C+km

coefficients des termes principaux d’une série de Laurent

C

= 0,5772157… constante d’Euler-Mascheroni

C

corps des nombres complexes

δkm

symbole de Kronecker (= 1 sik = m; = 0 sik ≢ m)

δ(n) (x)

dérivée d’ordren ⩾ 0 de la distribution de Dirac

δ(−1) (x)

fonction unité de Heaviside; détermination δ(−1)(0) = 1/2

Entx

partie entière du nombre réelx

E{X}

espérance mathématique de la variable aléatoireX

H(x)

caractéristique de transfert multidimensionnelle d’une transformation non linéaire

h(ν)

transformée de Fourier de la précédente

H(x) _ η(s)

original et image de laplace

H(x) ⇆ h(ν)

paire de transformées de Fourier

H+(x), resp. H(x)

branche positive (respectivement négative) d’une distribution

[h(ν)]+, resp.[h(ν)]

transformée de Fourier de la branche positive (respectivement négative)

H†(x) = H*(−x)

distribution adjointe de H(x) [transformée de Fourier de h*(ν)]

i.e.

c’est-à-dire

inf(p,q)

infremum =p sip<q; =q sip>q

Ims

partie imaginaire de la variable complexes

£p

espace des fonctions Φ(t) tel que ¦Φ(tp soit sommable surR

logs

fonction logarithme

logex

logarithme népérien

pf.

distribution pseudo-fonction (ou partie finie d’une intégrale)

pp.

partie principale

R+

ensemble des nombres positifs

Rn

espace réeln dimensionnel

Res

partie réelle de la variable complexes, resp. respectivement

S

espace des fonctions ∞-dérivables à décroissance rapide

sgnx

fonction « signe dex »; détermination sgn 0 = 0

sup(p, q)

supremum = p si p>q; = q sip<q

t.q.

tel que

Sommaire

Pour commencer, le passage d’une transformée de Laplace à la transformée de Fourier d’une distribution tempérée est traduit, dans toute sa généralité, au moyen d’une règle que l’on s’efforce de rendre entièrement systématique. la première application proposée a trait aux transformations non linéaires sans mémoire de signaux aléatoires; la description des caractéristiques de ces dernières par une transformée de Fournier prise au sens des distributions s’avère d’emblée bien plus profitable que la représentation traditionnelle fondée sur la transformée de Laplace. L’étude particulière qui est faite du cas gaussien permet, d’abord de généraliser, ensuite et surtout d’unifier dans une seule proprieté fondamentale de dérivation divers théorèmes établis antérieurement par des auteurs séparés et dans des cadres beaucoup plus restreints. La deuxième application a été choisie pour illustrer l’intérêt d’une règle de passage direct de l’image de laplace à celle de Fourier, dans des conditions où l’original luimême ne peut être atteint de manière explicite: il s’agit des signaux-distributions aléatoires associés à des processus de renouvellement, pour lesquels la transformée de Laplace de la covariance est aisément accessible d’après la théorie donnée, alors même que l’expression de la covariance ne semble pas susceptible d’une formulation simple. La règle de passage évoquée permet par contre de décrire la distribution spectrale énergétique du signal directement depuis la loi des intervalles du processus générateur, en usant de la fonction caractéristique de ces derniers. Un appendice groupe les transformations non linéaires les plus usuelles, en les décrivant par la paire: caractéristiques de transfert-transformêe de Fourier.

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Bibliographie

  1. [1]
    Lavoine (J.). Transformation de Fourier des pseudofonctions.C.N.R.S., Fr. (1963), 157 p.Google Scholar
  2. [2a]
    Schwartz (L.). Théorie des distributions.Hermann, Paris (1966), 420 p.MATHGoogle Scholar
  3. [2b]
    Schwartz (L.) Méthodes mathématiques pour les sciences physiques,Hermann, Paris (1961), 389 p.MATHGoogle Scholar
  4. [3]
    Hadamard (J.). Le problème de Cauchy et les équations aux dérivées partielles linéaires paraboliques.Hermann, Paris (1932).Google Scholar
  5. [4]
    Ryshik (I. M.),Gradstein (I. S.). Tafeln (Tables).Deutscher Verlag der Wissenschaften, Berlin (1963), 438 p.Google Scholar
  6. [5]
    *** Tables des Sinus, Cosinus et Exponentielles Intégraux, volume MT 6,National Bureau of Standards, Washington (1940), 225 p.Google Scholar
  7. [6]
    Bonnet (G.). Transformation des signaux aléatoires à travers les systèmes non linéaires sans mémoire.Ann. Télécommunic., Fr. (1964),19, n∘ 9-10, pp. 203–220.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  8. [7]
    Blanc-Lapierre (A.),Fortet (R.). Théorie des fonctions aléatoires.Masson, Paris (1953), 693 p.MATHGoogle Scholar
  9. [8]
    Bennett (W. R.),Rice (S. O.),Phil. Mag., G. B. (1934),18, n∘ 7, pp. 422–424.Google Scholar
  10. [9]
    Lavoine (J.). Extension du théorème de Cauchy aux parties finies d’intégrales.C. R. Acad. Sci., Fr. (1962),254, pp. 603–604.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  11. [10]
    Bonnet (G.). Considérations sur la représentation et l’analyse harmonique des signaux déterministes ou aléatoires.Ann. Télécommunic., Fr. (1968),23, n∘ 3-4, pp. 62–86.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  12. [11]
    Bonnet (G.). Sur certaines propriétés statistiques de fonctions aléatoires issues de transformations non linéaires.C. R. Acad. Sci., Fr. (1964),258, n∘ 20, pp. 4917–4920.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  13. [12]
    Price (R.). A useful theorem for non linear devices having gaussian inputs (Un théorème utile pour l’étude de systèmes non linéaires recevant des signaux gaussiens).I.R.E. Trans. Inf. Th., U. S. A. (1958),4, n∘ 2, pp. 69–72.CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  14. [13]
    Lawrence McMahon (E.). An extension of Price’s theorem (Extension du théorème de Price).I.E.E.E. Trans. Inf. Th. I–T10 (1964), n∘ 2, p. 168.CrossRefGoogle Scholar
  15. [14]
    Feller (W.). Probability theory and applications (Théorie des probabilités et applications).Wiley, New-York (1950), 461 p.MATHGoogle Scholar
  16. [15]
    Cox (D. R.). Théorie du renouvellement.Dunod (1966), 186 p.Google Scholar
  17. [16]
    Fortet (R.). les processus de renouvellementColl. O.T.A.N., « Traitement du signal».C.E.P.H.A.G., Grenoble (1964), pp. 63–77.Google Scholar
  18. [17]
    Gelfand (I. M.),en russe. Processus aléatoires généralisés.Dolk. Akad. Nauk., U. R. S. S. (1955),100, p. 853–856.Google Scholar
  19. [18]
    Bonnet (G.). Sur le spectre de certaines fonctions aléatoires associées à des processus de renouvellement.C. R. Acad. Sci., Fr. (1965),261, pp. 5307–5310.MATHMathSciNetGoogle Scholar
  20. [19]
    Mazzetti (P.). Correlation function and power spectrum of a train of non independent overlapping pulses (Covariance et densité spectrale d’un train d’impulsions liées qui se recouvrent).Nuovo Cimento, It. (1964),31, n∘ 10, pp. 88–97.CrossRefGoogle Scholar
  21. [20]
    Bonnet (G.). Corrélateurs utilisant la quantification des signaux.Coll. O.T.A.N., « Traitement du signal »,C.E.P.H.A.G., Grenoble (1964), pp. 328–346.Google Scholar
  22. [21]
    Bonnet (G.). Propriétés statistiques des transformations quadratiques approchées par interpolation linéaire.C. R. Acad. Sci., Fr.,262, A (1966), pp. 1190. pp.1190-1193.MATHGoogle Scholar
  23. [22]
    Middelton (D.). Some general results in the theory of noise trought non linear devices (Résultats généraux dans la théorie de la transmission du bruit à travers des systèmes non linéaires).Quart. Appl. Math., U. S. A.,5 (1948), p. 445.Google Scholar

Copyright information

© Institut Telecom / Springer-Verlag France 1970

Authors and Affiliations

  • Georges Bonnet
    • 1
  1. 1.Centre d’Etudes des phénomènes aléatoires (CEPHAG) (associé au CNRS)

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