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Sul concetto di biforcazione atipica

  • Massimo Furi
Convegno
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Sunto

Dati due spazi di BanachE edF, un operatore di Fredholm di indice zeroL:E→F ed un’applicazione compattah: ℝ ×EF, consideriamo l’equazione
$$Lx = h\left( {\lambda ,x} \right)$$
(a)
.

Si dice che (a) è un problema di biforcazione seh(λ, 0)≡0, e di cobiforcazione (o di biforcazione atipica) seh(0,x)≡0 eKerL≠{0}. Nel primo caso le soluzioni (λ,x) di (a) si dicono banali sex=0, nel secondo, invece, se λ=0. Una soluzione banale si dice di biforcazione o di cobiforcazione, a seconda del caso, se ogni suo intorno contiene soluzioni non banali.

Per lo studio bei problemi di cobiforcazione, nel caso dih sufficientemente regolare, gioca un ruolo essenziale il seguente campo vettorialev:Kerl→CokerL canonicamente associato ad (a):
$$\upsilon \left( x \right) = \pi \left( {\frac{{\partial h}}{{\partial \lambda }}\left( {0,x} \right)} \right)$$
, dove π è la proiezione canonica diF suF/ImL=CokerL. Si può infatti provare [1] che, se il grado di Brouwer div è non nullo, l’equazione (a) ammette, per λ>0 (0 per λ<0) un connesso non limitato di soluzioni la cui chiusura incontra lo spazio {0}×KerL in un punto di cobiforcazione; in particolare l’equazione (a) ammette soluzioni per valori sufficientemente piccoli del parametro λ (o per valori «grandi» in presenza di convenienti maggiorazioni a a priori).

Summary

Given two Banach spacesE andF, a bounded Fredholm operator with index zeroL:E→F and a compact maph: ℝ ×EF, consider the equation
$$Lx = h\left( {\lambda ,x} \right)$$
(a)

Problem (a) is said to be a bifurcation problem ifh(λ, 0)≡0, and a cobifurcation problem ifKerL={0} andh(0,x)≡0. A solution (λ,x) of (a) is said to be trivial if λ=0, in the first case, andx=0, in the second one. A trivial solution (λ, x) ∈ ℝ ×E is called a bifurcation point (in the first case) or a cobifurcation point (in the second one) if any neighborhood of (λ,x) meets a nontrivial solution.

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Bibliografia

  1. [1]
    Furi M., Pera M. P.,Co-bifurcating branches of solutions for nonlinear eigenvalue problems in Banach spaces. Annali Mat. Pura Appl. (in corso di pubblicazione).Google Scholar
  2. [2]
    Krasnosel’skij M. A.,Topological methods in the theory of nonlinear integral equations. Pergamon Press, 1964.Google Scholar
  3. [3]
    Martelli M.,Large oscillations of forced nonlinear differential equations. Contmeporary Mathematics AMS (in corso di pubblicazione).Google Scholar
  4. [4]
    Prodi G., Ambrosetti A.,Analisi non lineare. Quad. 1, Scuola Norm. Sup. Pisa, 1973.Google Scholar
  5. [5]
    Rabinowitz P. H.,Some global results for nonlinear eigenvalue problems. J. Func. Anal. 7 (1971), pp. 487–513.MATHCrossRefMathSciNetGoogle Scholar

Copyright information

© Birkhäuser-Verlag 1983

Authors and Affiliations

  • Massimo Furi
    • 1
  1. 1.dell’Università di FirenzeFirenzeItalia

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