La trigonometria dei piccoli triangoli curvilinei sopra una superficie

Sunto

La ordinaria trigonometria, sia piana che sferica, è molto antica; in parte anteriore alla scienza ellenica. Da questa, dagli Arabi, e dai matematici del Rinascimento fu posta sotto la forma ben nota di relazioni (tre delle quali soltanto sono indipendenti) fra i sei elementi di un triangolo, cioè i tre lati e i tre angoli.

Una generalizzazione, assai cospicua dal punto di vista teorico, dell’assetto definitivo, assunto verso la fine del secolo XVIII da questo utile ed elegante capitolo delle matematiche elementari, è dovuta essenzialmente a Gauss, e si riferisce ai triangoli geodetici (cioè formati da archi di linee geodetiche) sopra una superficie qualsiasi.

Qui si farà un passo ulteriore considerando triangoli formati da archi qualisivogliono, sia nel piano, sia sopra una generica superficie curva. Tuttavia, per ottenere formule praticamente servibili, anzi relativamente semplici, conviene introdurre la limitazione (che sarà ben precisata nel testo) di triangoli «piccoli».

Un esempio interessante, che si può trattare rigorosamente in modo elementare, è quello dei triangoli piani costituiti da archi di circonferenza. Si dimostra che, in «prima» approssimazione, valgono le stesse formule per «piccoli» triangoli, non soltanto nel piano, ma anche sopra una superficie qualsiasi.

In seconda approssimazione interviene essenzialmente anche la curvatura totale delle superficie su cui si suppone tracciato il triangolo. Le cose vanno allora come per il caso di triangoli lossodromici sopra la sfera.

Seguono indicazioni circa i criteri che servono a raggiungere approssimazioni di ordine superiore.