Determinants, sums involving binomial coefficients, and moment sequences

Abstract

In the present paper we investigate some problems connected with the positive definiteness of the sequences$j \to e^{j^\alpha } (j \in N_0 )$ and$j \to e^{ - \left| j \right|^\alpha } (j \in Z)$, whereα≥0. For this we need and prove some results about certain determinants and finite sums that might be of independent interest.

Abstract

Иэучаутся полозителяная определенностя некоторых функции и своиства последователяностеи моментов (именно, последователяностеи моментов тригонометрическои и Гамбургера). Согласно классическому реэулятату Герголяца последователяностяf является последователяностяу моментов Гамбургера в том и толяко том случае, когда она полозителяно определена на полугруппеH ₀, т.е. когда матрица (f(j+k)) ⁿ _jk полозителяно полуопределена для всех полозителяныхn.

Иэучаутся специаляное вазные последователяности

$$f_\alpha (j) = \exp (j^\alpha ), g_\alpha (j) = \exp ( - \left| j \right|^\alpha ).$$

Получены некоторые реэулятаты дляf ^p _α иα ^p _α .