Dynamical symmetries of the Kepler problem and of the harmonic oscillator in classical mechanics revisited

Summary

The dynamical « invariance » groups for the Kepler problem and the three-dimensional harmonic oscillator have been re-examined with the aid of Poisson brackets. We show that there exist two families of conserved vectors (including the well-known Eunge-Lenz vector) in the Kepler case and correspondingly the harmonic oscillator possesses three sets of conserved, symmetric traceless tensors. In either case, the operators involve arbitrary functions of energy leading to the ambiguity in the relation of the Hamiltonian with the Casimir operators of the dynamical invariance group. In a separate Section we discuss our results in the light of the work by Pradkin and Chaudet al.

Riassunto

Con l’ausilio delle parentesi di Poisson si sono riesaminati i grappi « d’invarianza » dinamica per il problema di Keplero e l’oscillatore armonico tridimensionale. Si dimostra che esitono due famiglie di vettori conservati (compreso il ben noto vettore di Runge-Lenz) nel caso kepleriano e che corrispondentemente l’oscillatore armonico possiede tre insiemi di tensori conservati, simmetrici senza traccia In entrambi i casi, gli operatori coinvolgono funzioni arbitrarie dell’energia che portano aU’ambiguità nella relazione dell’hamiltoniano eon gli operatori di Casimir del gruppo d’invarianza dinamica. In una Sezione separata si discutono i nostri risultati alla luce del lavoro di Fradkin e Chandet al.

Резюме

помощью скобок Пуасс она заново были исследованы динамич еские « инвариантные » группы для проблемы Кеплера и для трехмер ного гармоническ проблемы Кеплера и дл я трехмерного гармон ического осциллятор а. Мы показываем, что су ществуют два семейст ва сохраняющихся век торов (включая хорошо извес осциллятора. Мы показ ываем, что существуют два семейства сохран яющихся векторов (вкл ючая хорошо известны й вектор Рунге-Ленца) в кеплеровском случае и, соответственно, в сл учае гармонического осцилля семейства сохраняющ ихся векторов (включа я хорошо известный ве ктор Рунге-Ленца) в кеп леровском случае и, со ответственно, в случа е гармонического осц иллятора имеются три системы сохраняющих ся, симметричных тенз оров с нулевым шпуром. В каждом случае о известный вектор Рун ге-Ленца) в кеплеровск ом случае и, соответст венно, в случае гармон ического осциллятор а имеются три системы сохраняющихся, симме тричных тензоров с ну левым шпуром. В каждом случае операторы вкл ючают произвольные ф ункции энергии, приво дящие к неоднозначно сти в соотношении меж ду гами соответственно, в слу чае гармонического о сциллятора имеются т ри системы сохраняющ ихся, симметричных те нзоров с нулевым шпур ом. В каждом случае опе раторы включают прои звольные функции эне ргии, приводящие к нео днозначности в соотн ошении между гамильт онианом и операторам и Казимира для динами ческой инвариантной группы. В отдельном ра зделе мы обсуждаем н имеются три системы с охраняющихся, симмет ричных тензоров с нул евым шпуром. В каждом с лучае операторы вклю чают произвольные фу нкции энергии, привод ящие к неоднозначнос ти в соотношении межд у гамильтонианом и оп ераторами Казимира д ля динамической инва риантной группы. В отд ельном разделе мы обс уждаем наши результа ты в свете работы Фрад кина, Ченда и др. тензоров с нулевым шп уром. В каждом случае о ператоры включают пр оизвольные функции э нергии, приводящие к н еоднозначности в соо тношении между гамил ьтонианом и оператор ами Казимира для дина мической инвариантн ой группы. В отдельном разделе мы обсуждаем наши результаты в све те работы Фрадкина, Че нда и др. включают произвольн ые функции энергии, пр иводящие к неоднозна чности в соотношении между гамильтониано м и операторами Казим ира для динамической инвариантной группы. В отдельном разделе м ы обсуждаем наши резу льтаты в свете работы Фрадкина, Ченда и др. неоднозначности в со отношении между гами льтонианом и операто рами Казимира для дин амической инвариант ной группы. В отдельно м разделе мы обсуждае м наши результаты в св ете работы Фрадкина, Ч енда и др. операторами Казимир а для динамической ин вариантной группы. В о тдельном разделе мы о бсуждаем наши резуль таты в свете работы Фр адкина, Ченда и др. группы. В отдельном ра зделе мы обсуждаем на ши результаты в свете работы Фрадкина, Ченд а и др. результаты в свете ра боты Фрадкина, Ченда и др.