Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 61, Issue 2, pp 85–118 | Cite as

Quantum action principle and functional integration over paths in stochastic phase space

  • E. Prugovečki
Article

Summary

It is shown that a probability amplitude for a quantum chain on nonrelativistic stochastic phase space can be introduced which is formally analogous to a conditional Wiener measure. The quantum propagator is expressed as a path integral with respect to this amplitude, the integrand being an action functional over paths in stochastic phase space. On a formal level this result resembles its conventional counterpart over configuration space, but many difficulties with the convergence of Feynman path integrals are avoided in this approach. The entire formalism as well as the theory of measurement behind it are extrapolated to a recently proposed self-consistent dynamics of extended relativistic particles moving in external electromangetic fields. This elucidates the role of time-ordered reference hypersurfaces in that relativistic quantum theory and yields a nonperturbational proof that its propagator is relativistically covariant.

Квантовый принцип действия и функциональное интегрирование по траекториям в стохастическом фазовом пространстве

Резюме

Показывается, что может быть введена амплитуда вероятности для квантовой цепочки в нерелятивистском стохастическом фазовом пространстве, которая формально аналогична общепринятой мере Винера. Квантовый пропагатор выражается, как интеграл по траектории относительно этой амплитуды, причем подынтегральное выражение есть функционал действия по траекториям в стохастическом фазовом пространстве. На формальном уровне этот результат похож на соответствующее выражение по конфигурационному пространству. Но в этом подходе удается обойти множество трудностей, связанных с сходимостью фейнмановских интегралов по траекториям. Этот формализм, а также теория измерения экстраполируются на недавно предложенную самосогласованную динамику протяженных релятивистских частиц, движущихся во внешних электромагнитных полях. Этот подход разъясняет роль упорядоченных по времени базисных гиперповерхностей в релятивистской квантовой теории и дает непертурбационное доказательство, что пропагатор является ралятивистски ковариантным.

Riassunto

Si mostra che si può introdurre un'ampiezza di probabilità per una catena quantica sullo spazio delle fasi stocastico non relativistico che è formalmente analoga ad una misura condizionale di Wiener. Il propagatore quantico si esprime come integrale di percorso rispetto a questa ampiezza, l'integrando essendo un funzionale di azione su percorsi nello spazio delle fasi stocastico. A livello formale questo risultato somiglia alla sua controparte convenzionale nello spazio delle configurazioni, ma si evitano molte difficoltà mediante questo approccio con la convergenza degli integrali del percorso di Feynman. Il formalismo intero cosí come la teoria della misura che lo sostiene sono estrapolati alla dinamica autoconsistente recentemente proposta delle particelle relativistiche estese che si muovono in campi elettromagnetici esterni. Questo spiega il ruolo delle ipersuperfici di riferimento ordinate rispetto al tempo nella teoria quantica relativistica e fornisce una prova non perturbativa che il suo propagatore è relativisticamente covariante.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    E. Prugovečki:Phys. Rev. D,18, 3655 (1978). For a review seeS. T. Ali andE. Prugovečki: inMathematical Methods and Applications of Scattering Theory, edited byJ. A. De Santo, A. W. Saenz andW. W. Zachary (Berlin, 1980);E. Prugovečki:Hadronic J.,4, (1981) (in press).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  2. (2).
    E. Prugovečki:A self-consistent approach to quantum field theory for extended particles, to appear inFound. Phys.,11, No. 5-6 (1981).Google Scholar
  3. (3).
    R. P. Feynman andA. R. Hibbs:Quantum Mechanics and Path Integrals (New York, N. Y., 1965).Google Scholar
  4. (4).
    I. M. Gel'fand andA. M. Yaglom:J. Math. Phys. (N. Y.),1, 48 (1960).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    E. W. Montroll:Commun. Pure Appl. Math.,5, 415 (1952).MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  6. (6).
    E. Prugovečki:Found. Phys.,5, 557 (1975).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  7. (7).
    R. Weinstock:Calculus of Variations, Chapt. 6 (New York, N. Y., 1974).Google Scholar
  8. (8).
    S. T. Ali andE. Prugovečki:J. Math. Phys. (N. Y.),18, 219 (1977);E. Prugovečki:Found. Phys.,9, 575 (1979).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  9. (9).
    R. P. Feynman:Rev. Mod. Phys.,20, 367 (1948).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  10. (10).
    E. Nelson:J. Math. Phys. (N. Y.),5, 332 (1964).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  11. (11).
    S. S. Schweber:J. Math. Phys. (N. Y.),3, 831 (1962).MathSciNetCrossRefADSMATHGoogle Scholar
  12. (12).
    J. R. Klauder:J. Math. Phys. (N. Y.),4, 1058 (1963).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  13. (13).
    L. D. Faddeev:Theor. Math. Phys.,1, 3 (1969).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    C. DeWitt-Morette, A. Maheshwari andB. Nelson:Gen. Rel. Grav.,8, 581 (1977);Phys. Rep. C,9, 255 (1979).MathSciNetCrossRefADSMATHGoogle Scholar
  15. (15).
    C. A. Albaverio andR. J. Hoegh-Krohn:Mathematical Theory of Feynman Path Integrals (Berlin, 1976).Google Scholar
  16. (16).
    E. Prugovečki:Found. Phys.,3, 3 (1973).CrossRefADSGoogle Scholar
  17. (17).
    E. Prugovečki:Int. J. Theor. Phys.,16, 321 (1977).CrossRefMATHGoogle Scholar
  18. (18).
    E. Prugovečki:J. Math. Phys. (N. Y.),19, 2260 (1978).CrossRefADSGoogle Scholar
  19. (19).
    A. Vogt: inMathematical Foundations of Quantum Theory, edited byA. R. Marlow (New York, N. Y., 1978).Google Scholar
  20. (20).
    E. Prugovečki:J. Math. Phys. (N. Y.),17, 517 (1976).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  21. (21).
    E. Prugovečki:Ann. Phys. (N. Y.),110, 102 (1978).CrossRefADSGoogle Scholar
  22. (22).
    S. T. Ali andE. Prugovečki:Physica A (The Hague),89, 501 (1977).ADSGoogle Scholar
  23. (23).
    M. Kac:Probability and Related Topics in Physical Sciences, Chapt. IV (London, 1959).Google Scholar
  24. (24).
    K. Yosida:Functional Analysis, 4th edition, Chapt. XIV, sect.4 (Berlin, 1974).Google Scholar
  25. (25).
    I. I. Gikhman andA. V. Skorokhod:Introduction to the Theory of Random Processes, Chapt. IX (Philadelphia, Pa., 1965).Google Scholar
  26. (26).
    R. P. Feynman:Phys. Rev.,84, 108 (1951).MathSciNetCrossRefADSMATHGoogle Scholar
  27. (27).
    F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz andD. Sternheimer:Ann. Phys. (N. Y.),111, 111 (1978).MathSciNetCrossRefADSMATHGoogle Scholar
  28. (28).
    L. Infeld:Bull. Pol. Akad. Sci.,5, 491 (1957).MathSciNetMATHGoogle Scholar
  29. (29).
    A. O. Barut:Electrodynamics and Classical Theory of Fields and Particles, Chapt. II, sect.2 and3 (New York, N. Y., 1964).Google Scholar
  30. (30).
    J. D. Jackson:Classical Electrodynamics, 2nd edition, subsect.12.1 (New York, N. Y., 1975).Google Scholar
  31. (31).
    R. Göbel:J. Math. Phys. (N. Y.),17, 845 (1976).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  32. (32).
    R. L. Ingraham:Nuovo Cimento,34, 182 (1964).MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  33. (33).
    E. Prugovečki:Rep. Math. Phys.,18, No. 1 (1980) (in press).Google Scholar
  34. (34).
    E. H. Kerner, Editor:The Theory of Action at a Distance in Relativistic Particle Dynamics (New York, N. Y., 1972).Google Scholar
  35. (35).
    A. Erdélyi, Editor:Tables of Integral Transforms, Vol.1 (New York, N. Y., 1954), p. 75.Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1981

Authors and Affiliations

  • E. Prugovečki
    • 1
  1. 1.Department of MathematicsUniversity of TorontoTorontoCanada

Personalised recommendations