Absolute bounds on pion-pion amplitudes in the physical region and threshold behaviour.—II

Summary

A method of obtaining absolute upper and lower bounds in terms of the pion mass alone on the real part of the π⁰π⁰ scattering amplitudeF(s, t₀), t₀≥0, averaged over part of the physical region, is developed. This method enables us to obtain bounds effectively on the scattering length. For example (with ℏ=c=m _π=1 andF(4,0) = scattering length)$- 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4}$). We also find that the threshold behaviour of higher partial waves must be such that$\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|$ is absolutely bounded for a continuum of values oft ₀ (4>t ₀≥0) and for a weight function я(s) satisfying |я(s∼4)|<c (s−4)^ɛ,c=const, ɛ>0. For example (ɛ = 1),$- 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)}$. We conjecture that bounds of the form$\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|$ for partial-wave amplitudesf _l(s) may exist.

Riassunto

Si sviluppa un metodo per ottenere limiti superiori e inferiori in termini della sola massa del pione per la parte reale dell’ampiezza di scattering π⁰π⁰,t ₀≥0, mediata su parte della regione fisica. Questo metodo permette di ottenere efficacemente limiti sulla lunghezza di scattering. Per esempio (con ℏ=c=m _π=1 eF(4,0) = lughezza di scattering)$- 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4}$. Si trova anche che il comportamento di soglia delle onde parziali superiori è tale che$\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|$ è assolutamente limitato per un continuo di valori dit ₀ (0≤t ₀<4) e per una funzione peso я(s) che soddisfa |ϱ(s ∼ 4)| <c (s − 4)^ɛ,c=const, ɛ>0. Per esempio (ɛ=1),$- 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)}$. Si ipotizza che limiti della forma$\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|$ per ampiezze di onde parzialif _l(s) possano esistere.

Резюме

Развивается метод получения абсолютных верхних и нижних границ, в терминах пионной массы, на реальную часть амплитуды π⁰π⁰ рассеянияF(s, t ₀),t ₀≥0, усредненной по части физической области. Этот метод позволяет нам получить эффективно границы для длины рассеяния. Например, (в случае ℏ=c=m _π=1 иF(4, 0) = длина рассеяния$- 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4}$, мы также находим, что пороговое поведение высших парциальных волн должно быть таким, что$\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|$ является абсолютно ограниченной величиной для континуума величниt ₀ (4>t ₀≥0) и для весовой функции ϑ(s), удовлетворяющей |ϑ(s∼4)|<<c(s−4)^ɛ, гдеc=const, ⥹>0. Например, при ɛ=1,$- 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)}$. Мы предполагаем, что могут существовать границы вида$\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|$ < const, для парциальных амплитудf _l(s).