Advertisement

Absolute bounds on pion-pion amplitudes in the physical region and threshold behaviour.—II

  • A. D. Gangal
  • S. M. Roy
Article
  • 20 Downloads

Summary

A method of obtaining absolute upper and lower bounds in terms of the pion mass alone on the real part of the π0π0 scattering amplitudeF(s, t0), t0≥0, averaged over part of the physical region, is developed. This method enables us to obtain bounds effectively on the scattering length. For example (with ℏ=c=mπ=1 andF(4,0) = scattering length)\( - 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4} \)). We also find that the threshold behaviour of higher partial waves must be such that\(\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|\) is absolutely bounded for a continuum of values oft0 (4>t0≥0) and for a weight function я(s) satisfying |я(s∼4)|<c (s−4)ɛ,c=const, ɛ>0. For example (ɛ = 1),\( - 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)} \). We conjecture that bounds of the form\(\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|\) for partial-wave amplitudesfl(s) may exist.

Keywords

PACS. 11.20 S-matrix theory 

Абсолютные границы на пион-пионные амплитуды в физической области и пороговое поведение.—II

Резюме

Развивается метод получения абсолютных верхних и нижних границ, в терминах пионной массы, на реальную часть амплитуды π0π0 рассеянияF(s, t0),t0≥0, усредненной по части физической области. Этот метод позволяет нам получить эффективно границы для длины рассеяния. Например, (в случае ℏ=c=mπ=1 иF(4, 0) = длина рассеяния\( - 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4} \), мы также находим, что пороговое поведение высших парциальных волн должно быть таким, что\(\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|\) является абсолютно ограниченной величиной для континуума величниt0 (4>t0≥0) и для весовой функции ϑ(s), удовлетворяющей |ϑ(s∼4)|<<c(s−4)ɛ, гдеc=const, ⥹>0. Например, при ɛ=1,\( - 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)} \). Мы предполагаем, что могут существовать границы вида\(\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|\) < const, для парциальных амплитудfl(s).

Riassunto

Si sviluppa un metodo per ottenere limiti superiori e inferiori in termini della sola massa del pione per la parte reale dell’ampiezza di scattering π0π0,t0≥0, mediata su parte della regione fisica. Questo metodo permette di ottenere efficacemente limiti sulla lunghezza di scattering. Per esempio (con ℏ=c=mπ=1 eF(4,0) = lughezza di scattering)\( - 7.0 \leqslant \int\limits_4^5 {ds \operatorname{Re} F\left( {s,0} \right) \leqslant 10.4} \). Si trova anche che il comportamento di soglia delle onde parziali superiori è tale che\(\left| {\int\limits_4^b {ds \varrho \left( s \right)\operatorname{Re} F \left( {s, t_0 } \right)} } \right|\) è assolutamente limitato per un continuo di valori dit0 (0≤t0<4) e per una funzione peso я(s) che soddisfa |ϱ(s ∼ 4)| <c (s − 4) ɛ ,c=const, ɛ>0. Per esempio (ɛ=1),\( - 55.6 \leqslant \tfrac{3}{4}\int\limits_4^6 {ds\left( {s - 4} \right)\left( {6 - s} \right)} \). Si ipotizza che limiti della forma\(\left| {\int\limits_4^b {ds \left( {s - 4} \right)^{\varepsilon - l} \operatorname{Re} f_l \left( s \right)} } \right|\) per ampiezze di onde parzialifl(s) possano esistere.

References

  1. (1).
    A. Martin:Scattering Theory: Unitary, Analyticity and Crossing (Berlin, 1969);G. Sommer:Fortschr. Phys,18, 577 (1970).Google Scholar
  2. (2).
    S. M. Roy:Phys. Rep. C,5, 125 (1972).CrossRefADSGoogle Scholar
  3. (3).
    A. Martin:High-Energy Physics and Elementary Particles (Vienna, 1965), p. 165;L. Łukaszuk andA. Martin:Nuovo Cimento A,52, 122 (1967).Google Scholar
  4. (4).
    B. Bonnier andR. Vinh-Mau:Phys. Rev.,165, 1923 (1968);J. B. Healy:Phys. Rev. D,8, 1904 (1973);G. Auberson, L. Epele, G. Mahoux andF. R. A. Simão:Nucl. Phys. B,73, 314 (1974);94, 311 (1975);Ann. Inst. Henri Poincaré,22, 317 (1975).CrossRefADSGoogle Scholar
  5. (5).
    C. Lopez:Nucl. Phys. B,88, 358 (1975);Lett. Nuovo Cimento,13, 69 (1975);C. Lopez andG. Mennessier:Nucl. Phys. B,96, 515 (1975);118, 426 (1977);Phys. Lett. B,58, 437 (1975);B. Bonnier, C. Lopez andG. Mennessier:Phys. Lett. B,60, 63 (1975).CrossRefADSGoogle Scholar
  6. (6).
    G. Auberson, L. Epele andF. R. A. Simão:Nucl. Phys. B,133, 266 (1978).CrossRefADSGoogle Scholar
  7. (7).
    G. Auberson andG. Mennessier:Nucl. Phys. B,162, 440 (1980).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  8. (8).
    B. Bonnier andJ. T. Donohue:Nucl. Phys. B,134, 351 (1978).CrossRefADSGoogle Scholar
  9. (9).
    A. Martin:Nuovo Cimento A,47, 265 (1967).CrossRefADSGoogle Scholar
  10. (10).
    A. D. Gangal andS. M. Roy:Phys. Lett. B,95, 443 (1980).CrossRefADSGoogle Scholar
  11. (11).
    N. I. Muskhelishvili:Singular Integral Equations (Gröningen, 1955).Google Scholar
  12. (12).
    S. M. Roy:Phys. Lett. B,36, 353 (1971).CrossRefADSGoogle Scholar
  13. (13).
    B. R. Martin, D. Morgan andG. Shaw:Pion-Pion Interactions in Particle Physics (New York, N. Y., 1976).Google Scholar
  14. (14).
    A. D. Gangal:Nuovo Cimento A,74, 117 (1983).CrossRefADSGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1983

Authors and Affiliations

  • A. D. Gangal
    • 1
  • S. M. Roy
    • 2
  1. 1.Fachbereich PhysikUniversity KaiserslauternKaiserslauternBRD
  2. 2.Physics DepartmentSyracuse UniversitySyracuse

Personalised recommendations