On the quantization of the problem of two interacting relativistic spinless particles

Summary

We make a study of the problem of two interacting relativistic spinless particles: classical motion in the Lagrangian formalism, quantization in Dirac's constrained Hamiltonian formalism, properties of the resulting quantum equations and solutions. Introducing slight modifications related to the treatment of the unphysical degree of freedom «centre-of-mass relative time and energy», we obtain the Komar-Todorov and Kim-Noz families of models. Though more artificial, these models use a phase space which remains connected to the free-particle phase space, in contrast with the reduced phase space used in Dirac's quantization. This enables us to compute the transition matrix elements for the scattering of the two-particle bound states by an external object, interacting separately with each component particle.

Riassunto

Si studia il problema di due particelle interagenti relativistiche senza spin: il moto classico nel formalismo lagrangiano, la quantizzazione nel formalismo della hamiltoniana vincolata di Dirac, le proprietà delle risultanti equazioni quantistiche e le soluzioni. Introducendo lievi modifiche correlate al trattamento del grado non fisico di libertà «tempo ed energia relative al centro di massa», si ottengono le famiglie di modelli di Komar-Todorov e di Kim-Noz. Sebbene siano piu artificiosi, questi modelli usano uno spazio delle fasi che rimane connesso allo spazio delle fasi delle particelle libere, in contrasto con lo spazio delle fasi ridotto usato nella quantizzazione di Dirac. Questo ci permette di calcolare gli elementi della matrice di transizione per lo scattering degli stati legati a due particelle mediante un oggetto esterno, che interagisce separatamente con ogni particella componente.

Резюме

Мы исследуем проблему двух взаимодействующих релятивистских бесспиновых частиц: классическое движение в лагранжевом формализме, квантование в гамильтоновом формализме с дираковскими ограничениями, свойства полученных квантовых уравнений и решений. Вводя некоторые модификации, связанные с рассмотрением нефизической степени свободы: «относительное время и знергия центра масс», мы получаем семейства моделей Комара-Тодорова и Кима-Ноца. Эти модели используют фазовое пространство, которое остается связанным с фазовым пространством свободной частицы, в противоположность приведенному фазовому пространству, используемому при дираковском квантовании. Такой подход позволяет нам вычислить матричные элементы переходов для рассеяния двухчастичных связанных состояний на внешнем поле, которое взаимодействует с каждой частицей отдельно.