Linear potential with relativistic kinematics: Asymptotic behaviour of the eigenfunctions

Summary

The asymptotic behaviour of the solutions of the onedimensional problem$(\sqrt { - d^2 /dx^2 + m^2 } + \mu ^2 x)\varphi = \varepsilon \varphi$ is studied by means of the Laplace transformation. The results can be extended to thes-waves of the three-dimensional linear potential. Form finite >0 the eigenfunctions exhibit exponential decrease at infinity. In the limitm→∞ the nonrelativistic solution is recovered.

Riassunto

Mediante la trasformazione di Laplace si studia il comportamento asintotico delle soluzioni del problema unidimensionale$(\sqrt { - d^2 /dx^2 + m^2 } + \mu ^2 x)\varphi = \varepsilon \varphi$. I risultati possono essere estesi alle ondes del potenziale lineare tridimensionale. Perm finito >0 le autofunzioni presentano decrescenza esponenziale all'infinito. Al limitem→∞ si ritrova la soluzione non relativistica.

Резюме

С помощью преобразования Лапласа исследуется асимптотическое поведение решений одномерной проблемы$(\sqrt { - d^2 /dx^2 + m^2 } + \mu ^2 x)\varphi = \varepsilon \varphi$. Полученные результаты могут быть обобщены на случайs-волн для трехмерного линейного потенциала. Для конечныхm>0 собственные функции экспоненциально убывают на бесконечности. В пределеmр∞ получается нерелятивистское решение.