Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 51, Issue 2, pp 320–339 | Cite as

On discrete degenerate representations of the conformal group in space-time

  • A. Maduemezia
Article
  • 21 Downloads

Summary

The homomorphism between the conformal group in space-time and the noncompact groupSU2.2 is used to derive three new types of unitary irreducible representations of the conformal group. These representations are realized in Hilbert spaces of the so-called harmonic functions. two of them are equivalent (vector) representations, while the third is a projective (spinor) representation. All three are degenerate and of the discrete-series type. The generators of the physical operations of the conformal group are realized as differential operators—some of them explicitly in terms of the variables of the representation space. Matrices of the translation and dilatation operators are calculated between certain harmonic-function states. The dilatation operator is found to connect only states whose values of a certain parameterm differ by two or zero. It is suggested that, should degenerate discrete-series representations of the type described be relevant to the correct classification of fundamental particles, a simple explanation of the experimentally observed discrete mass spectra might be found in this property of the dilatation operator.

Keywords

Irreducible Representation Clifford Algebra Alcuni Discrete Series Dilatation Operator 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

О дискретных вырожденных представлениях конформной группы в пространстве-времени

Резюме

Используется гомоморфизм между конформной группои в пространстве-времени и некомпактной группойSU2,2, чтобы получить три новых типа унитарных неприводимых представлений конформной группы. Эти представления реализуются в Гильбертовых пространствах для так называемых гармонических функций. Две из них являются эквивалентными (векторными) представлениями, в то время как третье представляет проекивное (спинорное) представление. Все три являются вырожденными и принадлежат дискретной серии. Генераторы физических операторов для конформной группы представляются как дифференциальные операторы—некоторые из них точно в терминах переменных для пространства представления. Между некоторыми состояниями гармонических функций вычисляются матрицы операторов переноса и растяжения. Обнаружено, что оператор расширения связан только с состояниями, для которых величина некоторого параметраm отличается двойкой или нулем. Высказывается предположение, что вырожденные представления в виде дискретных рядов имеют отношения к правильной классификацией фундаментальных частиц; причем простое объяснение экспериментально наблюдаемому дискретному массовому спектру может быть найдено в этом свойстве оператора расширения.

Riassunto

Si usa l’omomorfia fra il gruppo conforme nello spazio-tempo e il gruppo non compattoSU2.2 per dedurre tre nuovi tipi di rappresentazioni irriducibili unitarie del gruppo conforme. Si realizzano queste rappresentazioni negli spazi hilbertiani delle cosiddette funzioni armoniche. Due di esse sono rappresentazioni equivalenti (vettoriali), mentre la terza è una rappresentazione proiettiva (spaziale). Tutte e tre sono degenerate e del tipo della serie discreta. Si realizzano i generatori delle operazioni fisiche del gruppo conforme come operatori differenziali—alcuni di essi esplicitamente in funzione delle variabili dello spazio delle rappresentazioni. Si calcolano le matrici degli operatori di traslazione e di dilatazione fra alcuni stati della funzione armonica. Si trova che l’operatore di dilatazione connette solo stati in cui i valori di un certo parametrom differiscono da 2 o da 0. Si suggerisce che, nel caso in cui le rappresentazioni degenerate della serie discreta del tipo descritto siano importanti per la corretta classificazione delle particelle fondamentali, una semplice spiegazione degli spettri di massa discreti osservati sperimentalmente si potrebbe trovare in questa proprietà dell’operatore di dilatazione.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    Y. Murai:Progr. Theor. Phys.,11, 44 (1954).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    A. Esteve andP. G. Sona:Nuovo Cimento,32, 473 (1964).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    H. A. Kastrup:Phys. Rev.,142, 1060 (1966).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    R. L. Ingraham:Lectures in Theoretical Physics, VIII-B, University of Colorado (1966), p. 375.Google Scholar
  5. (5).
    M. A. B. Bég andH. Ruegg:Journal. Math. Phys.,6, 677 (1966).CrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    R. Rączka andJ. Fischer:Commun. Math. Phys.,3, 233 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  7. (7).
    A. O. Barut andR. Rączka:Proc. Roy. Soc., A287, 519 (1965).ADSCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    R. Hermann:Lie Groups for Physicists, Chap. 2 (New York, 1966).Google Scholar
  9. (9).
    P. H. E. Meijer andE. Bauer:Group Theory (Amsterdam, 1962), p. 132.Google Scholar
  10. (10).
    S. Helgason:Differential Geometry and Symmetric Spaces (New York, 1962), p. 110.Google Scholar
  11. (11).
    A. Maduemezia: ICTP, Trieste, preprint IC/66/104;Journ. Math. Phys., to be published.Google Scholar
  12. (12).
    G. Racah:Group Theory and Spectroscopy, reprint CERN 61-8 (1961), p. 52.Google Scholar
  13. (13).
    We are to understand that an infinitesimal stretch of a vector ψ is given in the formψ→(1+iεα A α)ψ conventional in physics, whereA α is a generator and εα an infinitesimal parameter.Google Scholar
  14. (14).
    P. K. Raševskii:The Theory of Spinors inTransl. Am. Math. Soc.,6, 1 (1957).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • A. Maduemezia
    • 1
  1. 1.International Atomic Energy AgencyInternational Centre for Theoretical PhysicsTrieste

Personalised recommendations