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Über Axiomensysteme beliebiger Satzsysteme

  • P. Hertz
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  1. 1).
    Offenbar hat die erste Form vor der zweiten den Vorzug der Natürlichkeit: Man kann die ganze Reihe a ↦ b, b ↦ c, c ↦ d, d ↦ e durchlaufen, indem man immer von einem Satz zum folgenden über den beiden gemeinsamen Mittelbegriff fortschreitet Es läge nahe, diese Form auch für die zweite Anordnung herzustellen, indem man die Sätze so ausspricht: e ist, wenn d ist (damit e sei, genügt es, daß d ist), d ist, wenn c ist usw. Dem entspricht die Art, wie Aristoteles die Sätze formuliert; wo die modernen Logikbücher sagen: a ist b, heißt es bei Aristoteles: das b kommt dem a zu. Mag aber in dei aristotelischen Formulierung auch das „Zukommende“ als grammatisches Subjekt erscheinen, so bleibt doch in Wahrheit das Subjekt der andere Term, den wir auch beim Erfassen des Satzes zuerst denken müssen, insbesondere auch dann, wenn wir uns die Gültigkeit des syllogistischen Prinzips einsichtig machen wollen.Google Scholar

References

  1. 1).
    VgL S. 181, Anm. I.Google Scholar
  2. 2).
    S. etwa AnaL pr. I 25 25b, 37–39.Google Scholar
  3. 3).
    cap. 25, 41 bf.Google Scholar
  4. 4).
    Ausg. v. M. Wallies, Berlin 1883, S. 283, Z. 7–9; S.284, Z. 20–24, 26–28, S. 285, Z. 26–28, Z. 31–33.Google Scholar
  5. 5).
    Morgiis 1584, also vor Goklenius - S. 231, 234. - Es ist nicht ganz unwahrscheinlich, dafi Goklenius seine Darstellung dem Kommentar von Julius Pacius entnommen hat; allerdings hatte er dann ihre eigentliche Meinung nicht verstanden.Google Scholar
  6. 6).
    Schon deshalb nicht, weil sich - soviel ich sehe - der „goklenische“ Ketten- schlufi, wie er heute meist aufgefaßt wird, bei Goklenius gar nicht findet, sondern nur eine formale Umstellung der Beweispramissen unter Beibehaltung des aristote- lischen Sorites filr den Beweis. Vielleicht ist sogar Goklenius der einzige Logiker, von dem sich auf Grand seiner Schriften mit einiger Wahrscheinlichkeit vermuten laSt, dafi er den goklenischen SchluS nicht gekannt habe. (Eine in der Logik von Fries zitierte Ausgabe des Goklenischen Werkes von 1621 war mir leider nicht zuganglich.)Google Scholar

References

  1. 1).
    Natürlich muß erklart werden, was unter Schluß verstanden werden soil, und zwar durch eine Erklärung, die sich auf die Elemente der als Sätze bezeichneten Gebilde bezieht, sofern die Schlüsse nicht etwa rein formal durch die Schlußregeln erklart werden.Google Scholar
  2. 2).
    Z. B. das Bestehen eines aristotelischen Beweises das Bestehen eines goklenischen.Google Scholar

References

  1. 1).
    Es ist einleuchtend, daß damit die erste Frage beantwortet ist. Geben wir nämlich an, welche speziellen Bestimmungen zu unseren allgemeinen rein formalen Festsetzungen noch hinzukommen müssen, damit wir in der Praxis vorkommende Gebilde erhalten, so ist damit zugleich angegeben, worauf die zunächst rein formal charakterisierten Gebilde angewandt werden sollen.Google Scholar
  2. 2).
    Man bedenke auch die Schwierigkeit des Begriffes „System (Menge) von Satzen“. Was bedeutet es, wenn ich sage, dafl ich einem Satz einen zweiten „hinzu- fiige“ ? Schon im Sprachlichen ergibt sich eine gewisse Schwierigkeit, wenn ich etwa „Satz“ als „Bestehen von Beziehungen“ definiere, und nun nach der Definition einer Menge von Sätzen frage. Definitionen, die den Begriff des Bereiches benutzen, sind in dieser Hinsicht entschieden vorzuziehen.Google Scholar
  3. 3).
    Eine solche Definition enthielte allerdings nur indirekt eine Antwort auf unsere erste Frage. Sie hätte schon in gewissem Sinne einen formalen Charakter und das definierte Gebilde wäre von der Art wie die, nach denen die zweite Frage fragt, abgesehen davon, daß wir dort nach den einfachsten Gebilden fragen.Google Scholar
  4. 4).
    Rein formal ist z. B. die Definition des Satzes a↦ t als eines geordneten Elementenpaares ab bzw. als eines Zeichenpaares ab. Adäquat entspricht dagegen dem eigentlichen Satz a↦b eine Menge von Dingbereichen, die die Eigenschaft haben, dafi jedes Ding mit der Eigenschaft a auch die Eigenschaft b besitzt (siehe diese Ztschr. 7. Bd. 1928, S. 273). Im Text ist aber die Rede von Definitionen, wie etwa: eine Menge von Mengen, deren jede entweder b enthalt oder nicht a.Google Scholar

References

  1. 1).
    Siehe diese Ztschr. 7. Bd. 1928, S. 273.Google Scholar

References

  1. l).
    Siehe Hilbert-Ackermann: Theoretische Logik, Berlin 1928, S. 3.Google Scholar
  2. 2).
    Siehe Husserl, Logische Untersuchungen 1913, II. 1, S. 79, II. a, S. 17. Schroder (Logik der Algebra, II. 1, 1891, S. 12f.) spricht von „Ausdrucken variabeln Sinnes“.Google Scholar
  3. 3).
    Ebenso gehoren hierher Satze, die ein „dies“ enthalten. Aber wieder nicht ein individuelles „dies“ auf das der Sprecher hinweist, und das nicht als das Aufgewiesene, sondern als das betreffende Individuum gemeint ist; ein solches kann vielfach durch einen Eigennamen ersetzt werden. Dabei bleibt es problematisch, ob man, wenn Ynan ganz streng sein will, die Ansicht vertreten kann, ein Individuum liefie sich objektiv charakterisieren. Insofern das nicht der Fall ware, wiirden von den hier betrachteten Implikationen nicht grundsatzlich verschieden sein solche wie: „wenn Sokrates ein Mensch ist, so ist Sokrates sterblich“. Derm man konnte jedenfalls diese Satze so aäffassen, daÞ links und rechts dieselben freien Variabeln vor- kommen. Das ist aber nicht müglich bei dem im Sinne des Aussagekalküls sinnvollen und richtigen Satz „wenn Sokrates ein Mensch ist, so ist Cicero sterblich“ oder auch: „wenn alle Europaer Menschen sind, so sind alle Deutschen sterblich.“Google Scholar

References

  1. 1).
    VgL auch Schroder, a. a. 0., S. 12 und 13. Implikation zwischen Sätzen konstanten Sinnes nennt Ziehen (Logik, Bonn 1920, S. 700) ..instable hypothetische Urteile“. ImplikationenvonAussagefunktionen„indeterminiertehypothetischeUrteile“.Google Scholar
  2. 2).
    Vgl. Whitehead-Russell, Principia mathematica, 2. Aufl. 1925, S. 138, Formel *10. 26.Google Scholar
  3. 3).
    Als Beispielfiihren wir an: Fr. Ueberweg,Logik 5. Aufl., Bonn 1882, S.405; B. Erdmann, Logik, 3. Aufl. 1923, S.604; Ziehen, Logik, Bonn 1920, S.700 und 746 und, um danebcn noch ein Zitat aus dem frühen Mittelalter zu geben: Joh. Phi- loponus in Aristotelis anal. pr. comment, (ed. Wallies) Berlin 1905, p. 243, 23-24; p. 244, 19-20. Nicht ohne Interesse in diesem Zusammenhang ist die Bemerkung Ziehens (Logik, Bonn 1920, S. 746), dafl beim modus ponens mit „instablem“ Ober- satz dieser oft auf ein universelles Urteil zuriickgeht, ferner, dafl das Subjekt des Obersatzes oft in die Konklusion hineingenommen wird. Im allgemeinen darf man sagen, dafi sich in bezug auf unsere Fragestellung alte und neue Logik nicht wesentlich unterscheiden, nur dafi diese den Bereich der zulassigen Implikationen zwischen Sätzen konstanten Sinnes bedeutend erweitert und dazu neigt, solche Implikationen fur elementarer zu halten als allgemeine Satze. Wie mir ubrigens scheint, wird auch von Boethius (Migne, Patres latini Bd. 64, S. 835, Z. 27-34) eine der sonst nur in der modernen Logik behandelten Implikationen betrachtet und ausdrücklich von den andersartigen unterschieden (vgl. aber a. a. 0., S. 871 Z. 3 v. u.- 872 Z. 4 v. o.).Google Scholar

References

  1. 1).
    Whitehead und Russell, 2. Aufl. XV; Russell, Unser Wissen von der Aufienwelt, Leipzig 1926, S. 70. Das Beispiel: „wenn es regnet, bringe ich meinen Schirm mit“ ist so zu verstehen: „wenn es jefrzt regnet usw.“ wobei sich das Jetzt auf den Augenblick bezieht, in dem der Satz ausgesprochen wird (bzw. auf die nachste Zukunft), und nur auf dies eine Jetzt (im Englischen steht „if“ und nicht „when“).Google Scholar
  2. 2).
    Whitehead-Russell, S. 2off., S. 138; vgl. auch C. J. Lewis, Survey of symbolic logic, Berkeley, 1918, S. 328.Google Scholar
  3. 3).
    B. Russell, Unser Wissen von der Aufienwelt. S. 72.Google Scholar
  4. 4).
    Siehe Russell, Principia, Beweis von *10. 26; Weyl, Handbuch f. Phil., Munchen und Berlin 1927, Abt. 2, S, 15.Google Scholar
  5. 5).
    Neben dieser Auffassung findet sich in den Principia von Whitehead-Russell (Bd. I, 1. Aufl., S. 47f., 2. Aufl., S. 44ff.) eine andere, die dem in diesem Vortrag angenommenen Standpunkt entspricht. (An dieser Stelle wird noch hervorgchoben, daß allgemeine Urteile eine radikal neue Art von Urteilen darstellen.) Aber die erste Auffassung wird von den Verfassern fur vorteilhafter erklärt.Google Scholar

References

  1. 1).
    Keineswegs folgt aus dieser Auffassung, daßes unberechtigt oder unzweck maßig ware, in einer formalen Theorie Implikationen von Sätzen zu betrachten. Wir werden spftter selbst von solchen Gebilden Gebrauch machen. Nur wdrden diese Gebilde von unserem Standpunkt nicht in einfacher Weise inhaitlich zu deuten sein; sie wurden keinem elementaren Sachverhalt entsprechen, sondern bei ihrer inhaltlichen Deutung mußte auf einen ailgemeinen Zusammenhang Bezug genommen werdenGoogle Scholar
  2. 2).
    Es muß zugegeben werden, daß wir bei den wenn-Sätzen von vornherein geneigter sind, an einen aligemeinen Zusammenhang zu denken ais beiden disjunktiven Satzgefugen. Dies zeigt sich in der Tat an den paradoxen Implikationen, deren Vorder satz falsch ist, sowie an denjenigen, deren Vordersatz und Hintersatz in Wirklichkeit nichts miternander zu tun haben. Hier wird durch die Zuruckftthrung des „wenn“ auf das „oder“ das Paradoxe em wenig gemildert mid die Schwierigkeit etwas ver deckt. Drucken wir aber die betreffenden Sätze mit „wenn“ aus, so wird besonders kiar, daß eigentlich eine soiche Formulierung nur da am Platz e 1st, wo em ailgemeiner Zusammenhang oder eine Beziehung auf eine ubergeordnete Menge gemeint ist. Daher denn die entsprechende Formulierung mit „oder“ nicht ganz so paradox anmutet wie die folgende, die nach der neuen Logik ais durchaus em wandfrei zu gelten hat: „Wenn Sokrates em Gott ist, so ist er sterblich.“ Der Satz: „Wenn Sokrates em Gott ware, so ware er sterblich,“ ware aber von jedem Stand punkt aus falsch.Google Scholar

References

  1. 1).
    „Diese Fußspur rührt von einem Mann oder Frau her“ = „diese Spur rührt von einem Menschen her; alle Menschen sind entweder Männer oder Frauen.“Google Scholar
  2. 2).
    Damit ist zugleich klar, daß das „oder“ auch als Zeichen zur Mitteilung (im Sinne der Hilbertschen Theorie) in der Reflexion über disjunktive Aussagen dienen kann; als solches bezieht es sich naturlich disjunktiv auf verschiedene Eigenschaften a. Wenn aber der primär Urteilende ohne Erläuterung das Wort „oder“ gebraucht, so spielt für den Hörer die Formulierung des disjunktiven Urteils selbst die Rolle jener Eigenchaft a.Google Scholar

References

  1. 1).
    Dort soil auch noch eine andere Auffassung besprochen werden, die zu einer Aufklärung des erwahnten Paradoxons führen könnte.Google Scholar

References

  1. 1).
    Auch das kommt vor, daß wir ein Restsystem erhalten, dieses nicht ein unabhangiges Axiomensystem ist, gleichwohl aber ein anderes unabhangiges Axiomensystem wirklich vorhanden ist.Google Scholar

References

  1. 1).
    7. Bd. 1928, Heft 7 und 8, S. 275.Google Scholar

Copyright information

© Springer-Verlag 1929

Authors and Affiliations

  • P. Hertz
    • 1
  1. 1.Göttingen

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