Sur les enveloppes injectives de TAG-modules

Riassunto

S. Singh ha introdotto in [5] i moduliM, su un anello unitario, soddisfacenti le due condizioni seguenti:

• I. ogni sottomodulo di tipo finito di ogni immagine omomorfa diM è somma diretta di moduli uniseriali;

• II. dati due sottomoduli uniserialiU eV di un'immagine omomorfa diM e un sottomoduloW diU, ogni applicazione linearef: W→V si prolunga aU, purchè sia soddisfatta la condizione seguente sulle lunghezze:d(U/W)≤d(V/f(W)).

Un modulo che verifica I e II è detto un TAG-modulo (cfr. [1]). Su un TAG-modulo si può sviluppare una teoria analoga a quella dei gruppi abeliani di torsione (v. per esempio [5]).

È stato dimostrato in [2] che, se l'anello è commutativo, la condizione I implica la condizione II. Non avviene sempre così se l'anello non è commutativo.

In questa nota ci proponiamo di caratterizzare gli anelli commutativi per i quali la classe dei TAG-moduli è chiusa sugli inviluppi iniettivi. Noi mostriamo che l'inviluppo iniettivo di ogni TAG-modulo primario è un TAG-modulo se e solo se l'anello è quasi ZPI. L'inviluppo iniettivo di ogni TAG-modulo è un TAG-modulo se e solo se l'anello è ZPI. Il problema ci ha condotto ad una nuova caratterizzazione (per quanto ci risulta) degli anelli ZPI: un anelloA è ZPI se e solo seA è quasi ZPI ed ogni immagine omomorfa diA ha un supporto finito.

Résumé

S. Singh a introduit dans [5] les modulesM, sur un anneau unitaire, satisfaisant aux deux conditions suivantes:

• I) Tout sous-module de type fini de toute image homomorphe deM est somme direct de modules unisériels.

• II) Etant donné deux sous-modules unisérielsU deV d'une image homomorphe deM etW un sous-module deU, toute application linéairef: W→V se prolonge àU, pourvu que la condition suivante sur les longueurs soit satisfaite:d(U/W)≤d(V/f(W)).

Un module vérifiant I) et II) est dit un TAG-module (voir [1]). Il s'est avéré que, sur un TAG-module, on peut développer une théorie analogue à celle des groupes abéliens de torsion (voir [5] par exemple).

Si l'anneau est commutatif, il a été prouvé dans [2] que la condition I) entraîne la condition II). Ce n'est cependant pas toujours le cas si l'anneau n'est pas commutatif.

Dans cette note nous nous proposons de caractériser les anneaux commutatifs pour lesquels la classe des TAG-modules est fermée sous les enveloppes injectives. Nous montrons que l'enveloppe injective de tout TAG-module primaire est un TAG-module si et seulement si l'anneau est presque ZPI. L'enveloppe injective de tout TAG-module est un TAG-module si et seulement si l'anneau est ZPI. Le problème nous a amené à une nouvelle caractérisation (à notre connaissance) des anneaux ZPI: un anneauA est ZPI si et seulement siA est presque ZPI et toute image homomorphe deA a un support fini.