Sunto
Si descrive lo spazio dei moduliM 1 (c 2) dei fibrati vettoriali di 't Hooft suP 3, cioè dei fibrati istantoni che ammettono una sezione lineare. Si dimostra che tale spazio è una varietà razionale il cui luogo singolare è costituito dai fibrati di 't Hooft speciali studiati in [HN]. Si trova, inoltre, una desingolarizzazione diM 1 (c 2) data da un aperto di un fibrato proiettivo sullo schema di Hilbert delle curve che sono luoghi degli zeri di sezioni lineari di fibrati di 't Hooft. Le componenti connesse di tali curve sono rette o rette multiple isomorfe a un prodotto. Questo risultato è conseguenza del fatto che ogni retta multiplaZ di genere aritmeticop a (Z)≤1—deg (Z) fibrata in punti multipli curvilinei è schematicamente isomorfa al multiplo di una sezione di una opportuna superficie rigata razionale.
Abstract
We describe the moduli spaceM 1 (c 2) of 't Hooft bundles onP 3, that is instanton bundles having sections at the first twist. We prove that such a moduli space is a rational variety whose singular locus is the moduli space of special 't Hooft bundles studied in [HN]. It turns out thatM 1 (c 2) possesses a canonical desingularization provided by the projectivized of a vector bundle on the Hilbert schemeH of the space curves which correspond to 't Hooft bundles in the Serre construction. Moreover, we show that the connected components of such curves are lines or multiple lines, which are scheme-theoretically a product. On such multiple lines every vector bundle splits, and we are able to determine their normal bundle. This allows to reprove the smoothness ofH, already known from [C], and the smoothness ofM 1, shown in [C] and [NT].
References
[BF]C. Banica—O. Forster,Multiple structures on space curves, in Contemporary Mathematics,58, Proceedings of the Lefschetz Centennial Conference 1984, AMS.
[BT]W. Böhmer—G. Trautmann,Special instanton bundles and Poncelet curves, in Singularities, Representations of Algebras and Vector Bundles, Proceedings Lambrecht (1985).
L. Chiantini,Obstructions of 't Hooft Curves, Rend. Sem. Mat. Univ. Politecnico Torino,46 (1988), pp. 217–231.
[F]G. Floystad,On space curves with good cohomological properties, Math. Ann.,291 (1991), pp. 505–549.
[H1]R. Hartshorne,Algebraic geometry, Springer GTM52.
[H2]R. Hartshorne,stable Vector Bundles of Rank 2 on P 3, Math. Ann.,238 (1978), pp. 229–280.
[HN]A. Hirschowitz—M. S. Narasimhan,Fibres de 't Hooft speciaux et applications, Proceedings Nice Conference 1981, Birkhäuser.
[L]H. Lange,Universal families of extensions, J. Alg.,83 (1983), pp. 101–112.
[M]M. Maruyama,Moduli of stable sheaves I, II, J. Math. Kyoto Univ.,17 (1977), pp. 91–126;18 (1978), pp. 557–614.
[NT]T. Nüssler—G. Trautmann,Multiple Koszul structures on lines and instanton bundles, Int. J. of Math.,5 (1994), pp. 373–388.
[OSS ]C. Okonek—M. Schneider—H. Spindler,Vector Bundles on Complex Projective Spaces, Progress in Mathematics, vol. 3, Birkhäuser Boston (1980).
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Beorchia, V., Franco, D. On the moduli space of ’t Hooft bundles. Ann. Univ. Ferrara 47, 253–268 (2001). https://doi.org/10.1007/BF02838186
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DOI: https://doi.org/10.1007/BF02838186