Advertisement

Il Nuovo Cimento B (1971-1996)

, Volume 100, Issue 1, pp 17–26 | Cite as

Minimax theory simplified

  • A. Grubb
  • C. S. Sharma
Article
  • 18 Downloads

Summary

New proofs of the minimax and the maximin theorems for eigenvalues of a semi-bounded self-adjoint operator on a Hilbert space are presented in which these theorems are shown to be trivial consequences of even more trivial lemmas. It is claimed that almost all inequalities concerning eigenvalues of such operators which were hitherto supposed to be derivable only through the minimax and the maximin theorems follow directly from the primitive lemmas. The radical simplification achieved is expected to facilitate further development of the subject.

PACS

03.65.Db. - Functional analytical methods 

PACS

02.30 - Function theory analysis 

PACS

31.50 - Excited states 

Унрощенная минимаксимальная теория

Резюме

Приводятся новые доказательства минимаксимальной и максиминимальной теорем для собственных значений полуограниченного самосопряженного оператора на гильбертовом пространстве. В работе показывается, что эти теоремы являются тривиальными следствиями более тривиальных лемм. Требуется, чтобы почти все неравенства, касающиеся собственных значений таких операторов, которые, как до сих пор предполагалось, получаются только при помоши минимаксимальной и максиминимальной теорем, непосредстевнно следовали бы из первичных лемм. Ожидается, что полученное радикальное упрошение облегчает дольнейшее исследование проблемы.

Riassunto

Si presentano nuove prove dei teoremi minimax e maximin per gli autovalori di un operatore autoaggiunto semilimitato su uno spazio di Hilbert, in cui si dimostra che questi teoremi sono conseguenze banali di lemmi ancor piú banali. Si afferma che quasi tutte le disuguaglianze riguardanti gli autovalori di tali operatori, ritenute fin qui ottenibili solo attraverso i teoremi minimax e maximin, si deducono direttamente dai lemmi originari. Si prevede che la radicale semplificazione ottenuta possa facilitare uno sviluppo ulteriore di questo argomento.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    A. Weinstein andW. Stenger:Methods of Intermediate Problems for Eigenvalues (Academic Press, New York, N.Y., 1972).MATHGoogle Scholar
  2. (2).
    C. S. Sharma andS. SriRankanathan:J. Phys. A,8, 1853 (1975).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    H. Poincaré:Am. J. Math.,12, 211 (1890).CrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    E. A. Hylleraas andB. Undheim:Z. Phys.,65, 759 (1930).ADSCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    J. B. Diaz andF. T. Metcalf:J. Math. Mech.,17, 623 (1968).MathSciNetGoogle Scholar
  6. (6).
    A. Grubb andC. S. Sharma:Phys. Lett. A,110, 243 (1985).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  7. (7).
    A. Grubb, G. E. Nicholson andC. S. Sharma:Phys. Lett. A,106, 405 (1984).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    A. Grubb, G. E. Nicholson andC. S. Sharma:Mol. Phys.,56, 687 (1985).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  9. (9).
    C. S. Sharma:Phys. Lett. A,111, 261 (1985).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    R. E. Peierls:Surprises in Physics (Princeton University Press, Princeton, N. J., 1979).Google Scholar
  11. (11).
    E. R. Lorch:Math. Rev.,86, 47024 (1986).Google Scholar
  12. (12).
    G. Polya:Estimate for Eigenvalues in Mathematics and Mechanics (Academic Press, New York, N. Y., 1954), p. 200.Google Scholar
  13. (13).
    H. Weyl:Math. Ann. (N. Y.),71, 441 (1911).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    M. Reed andB. Simon:Methods of Modern Mathematical Physics, Vol. IV:Analysis of Operators (Academic Press, New York, N. Y., 1978).Google Scholar
  15. (15).
    C. S. Sharma:Br. J. Philos. Sci.,33, 275 (1982).CrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1987

Authors and Affiliations

  • A. Grubb
    • 1
  • C. S. Sharma
    • 2
  1. 1.Department of MathematicsBrunel UniversityUxbridgeEngland
  2. 2.Birkbeck CollegeUniversity of LondonLondonEngland

Personalised recommendations