Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 2, Issue 4, pp 853–880 | Cite as

The wave and scattering operators for single-channel systems

  • D. B. Pearson


A definition is proposed of integrals of the form\(\int\limits_{ - \infty }^\infty {L(\lambda )} dE_\lambda \)f, whereL(λ) is a family of linear operators and {Eλ} is a resolution of the identity. If we assume the wave and scattering operators of time-dependent scattering theory to exist, these operators can be rigorously expressed, for a wide class of scattering systems, in terms of integrals of the above kind, cach integration corresponding to a momentum variable being placed on the energy shell. If we apply the arguments to potential scattering, assuming the potential function to be square-integrable, the familiar expressions for the wave and scattering operators in terms of partial-waveT-matrix elements are rigorously derived.

Операторы волны и рассеяния для систем с единственным каналом


Предлагается определение интегралов следуюшего вида\(\int\limits_{ - \infty }^\infty {L(\lambda )} dE_\lambda \)L(λ)dEλ, гдеL(λ) представляет семейство линейных операторов и {Eλ} есть рещение тождества. Предполагая, что операторы волны и рассеяния для не эависяшей от времени теории рассеяния сушествуют, строго выводятся зти операторы для щирокого класса рассеиваюших систем в виде интегралов, выщеукаэанного типа, причем, каждое интегрирование, соответствуюшее переменной импульса, проиэводится по массовой поверхности. Применяя зти аргументы к потенциальному рассеянию и предполагая, что потенциальная функция является квадратично интегрируемой, строго выводятся аналогичные выражения для операторов волны и рассеяния в терминах злементов парциальнойТ-матрицы.


Si propone una definizione degli integrali della forma\(\int\limits_{ - \infty }^\infty {L(\lambda )} dE_\lambda \)L(λ)dEλ, in cuiL(λ) è una famiglia di operatori lineari e {Eλ} è una soluzione dell’identità. Se si suppone che esistano gli operatori d’onda e di scattering della teoria dello scattering dipendente dal tempo, questi operatori possono essere espressi rigorosamente, per un’ampia classe di sistemi di scattering, in termini di integrali del tipo suddetto, ciascuna variabile corrispondendo al piazzamento di una variabile di impulso sullo strato delle energie. Se si applicano questi argomenti allo scattering di potenziale, supponendo che la funzione di potenziale sia integrabile al quadrato, si deducono rigorosamente le espressioni familiari per gli operatori d’onda e di scattering in termini degli elementi della matriceT di onda parziale.


Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.


  1. (1).
    J. M. Jauch:Helv. Phys. Acta,31, 127 (1958).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    S. T. Kuroda:Nuovo Cimento,12, 431 (1959). See also (3).MATHCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    C. R. Putnam:Commutation Properties of Hilbert-Space Operators and Related Topics (Berlin, 1967).Google Scholar
  4. (4).
    E. Prugovečki:Nuovo Cimento,63 B, 569 (1969).CrossRefADSGoogle Scholar
  5. (5).
    T. Kato:Trans. Amer. Math. Soc.,70, 195 (1951).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. (6).
    C. Lovelace:Strong Interactions and High-Energy Physics, edited byR. G. Moorhouse (London, 1964), p. 444.Google Scholar
  7. (7).
    J. L. Daleckii andS. G. Krein:Amer. Math. Soc. Transl.,47, 1 (1965).Google Scholar
  8. (*).
    See ref. (7) for the caseL(λ) andH 0 bounded.Google Scholar
  9. (8).
    N. Dunford andJ. Schwartz:Linear Operators, Vol.1 (New York, 1958), p. 151.Google Scholar
  10. (9).
    D. B. Pearson:Journ. Math. Phys.,11, 2425 (1970).MATHCrossRefADSGoogle Scholar
  11. (10).
    K. O. Friedrichs:Perturbation of Spectra in Hilbert Space (Providence, R. I., 1965).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1971

Authors and Affiliations

  • D. B. Pearson
    • 1
  1. 1.Department of Applied MathematicsUniversity of HullHull

Personalised recommendations