Angular momentum continuation from thes-wave

Summary

In potential scattering theory we consider the question of the angular-momentum continuation of the radial wave function. We assume that at a fixed value ofl (s-wave) we can solve the radial wave equation for both the regular solution (wave function) and the irregular solution. From this knowledge we construct an integral equation for the wave function which allows it to be analytically continued in angular momentum. Although the kernel of this integral equation is singular, the iterative solution is shown to exist in a limited region. An analysis of the spectrum of this kernel yields an interesting integral identity for the irregular solution of the wave equation. On the basis of this analysis we conjecture an integral representation of the wave function (regular solution) in terms of the irregular solution. For a limited class of potentials this representation is shown to hold in perturbation theory and to afford a view of all singularities in the left-halfl-plane.

Riassunto

Si considera nella teoria dello scattering di potenziale il problema della continuazione del momento angolare della funzione d'onda radiale. Si presuppone che per valori fissati dil (ondas) si possa risolvere l'equazione d'onda radiale per entrambe le soluzioni, regolare (funzione d'onda) ed irregolare. Noto ciò, si costruisce un'equazione integrale per la funzione d'onda che quindi può essere continuata analiticamente nel momento angolare. Sebbene il nocciolo di questa equazione integrale sia singolare si dimostra che la soluzione iterativa esiste in una regione limitata. Un'analisi dello spettro di questo nocciolo fornisce un interessante identità integrale per la soluzione irregolare dell'equazione d'onda. Sulla base di questa analisi si congettura una rappresentazione integrale della funzione d'onda (soluzione regolare), in termini della soluzione irregolare. Si dimostra che questa rappresentazione, per una classe limitata di potenziali, vale nella teoria delle perturbazioni e presenta un panorama di tutte le singolarità nella metà sinistra del pianol.

Резюме

В потенциальной теории мы рассматриваем вопрос продолжения момента для радиальной волновой функции. Мы предполагаем, что при фиксированной величинеl (s-волна) мы можем решить радиальное волновое уравнение и для регулярного решения (волновой функции) и для иррегулярного решения. Из этой информации мы строим интегральное уравнение для волновой функции, которое может быть аналитически продолжено по моменту. Хотя ядро этого интегрального уравнения является сингулярным, показывается, что в ограниченной области существует сингулярное решение. Анализ спектра этого ядра дает интересное интегральное тождество для иррегулярного решения волнового уравнения. На основе этого анализа мы высказываем предположение о интегральном представлении волновой функции (регулярное решение) в терминах иррегулярного решения. Показывается, что для ограниченного класса потенциалов это представление сохраняется в теории возмущений и дает вид всех особенностей в левой половинеl-плоскости.