Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 61, Issue 4, pp 638–643 | Cite as

Singularities of the double spectral function in potential scattering theory

  • O. Brander
Article

Summary

The double spectral function of the Mandelstam representation in nonrelativistic potential-scattering theory is analysed with the method sketched by Bessis. It is shown that it may have singularities, connected in the following way to the behaviour of the potential at infinity. For a potential satisfying\(V(r)\mathop \sim \limits_{r \to \infty } r^{ - \gamma } exp[ - \mu r]\), μ>0, γ>0, the double spectral function is continuous for γ>5/4, but has for γ≤5/4 singularities of the type (\((t - 4\mu ^2 - \mu ^4 /s)^{2\gamma - \tfrac{5}{2}} \theta (t - 4\mu ^2 - \mu ^4 s)\), where 3/4<γ≤5/4, and δ(t-4μ2-μ4/s), when γ=3/4. These singularities are integrable, and the Mandelstam representation is thus valid for γ≥3/4. For γ<3/4 the singularities are nonintegrable, and the Mandelstam representation in its familiar form is not valid. As follows from the considerations of the preceding paper, the results of this paper are not changed by the introduction of a logarithmically singular repulsive core.

Keywords

Continuous Function Asymptotic Expansion Spectral Function Modify Representation Cura 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Сингулярности двойной спектральной функции в потенциальной теории рассеяния

Резюме

С помощью метода, предложенного бессисом, анализируется двойная спектральная функция представления Манделстама в нерелятивистской потенциальиой теории рассеяния. Показывается, что она может иметь синтулярности, связанные следующим образом с поведением потенциала на бесконечности: Для потенциала, удовлетворяющего условию\(V(r)\mathop \sim \limits_{r \to \infty } r^{ - \gamma } exp[ - \mu r]\) exp [−μγ], μ>0, γ>0, двойная спектральная функция непрерывна для γ>5/4, но для γ≤5/4 имеет сингулярности типа\((t - 4\mu ^2 - \mu ^4 /s)^{2\gamma - \tfrac{5}{2}} \theta (t - 4\mu ^2 - \mu ^4 /s)\), когда 3/4<γ≤5/4 и δ(t-4μ2-μ4/s), когда γ=3/4. Эти синтулярности являются интегрируемыми, и поэтому представление Манделстама справедливо для γ≥3/4. Для γ<3/4 сингулярности являются неинтегрируемыми, и представление Манделстама γне справедливо. Как следует из рассуждений предыдущей работы, результаты этой работы не изменяются при введении логарифмически синтулярной отталкивающей сердцевины.

Riassunto

Si analizza la funzione spettrale doppia della rappresentazione di Mandelstam nella teoria non relativistica dello scattering di potenziale col metodo abbozzato da Bessis. Si dimostra che essa può avere singolarità connesse nel modo segguente al comportamento del potenziale all'infinito: Per un potenziale che soddisfa\(V(r)\mathop \sim \limits_{r \to \infty } r^{ - \gamma } exp[ - \mu r]\) exp [−μr]. μ>0, γ>0, la funzione spettrale doppia è continua per γ>5/4, ma per γ≤5/4 ha singolarità del tipo (\((t - 4\mu ^2 - \mu ^4 /s)^{2\gamma - \tfrac{5}{2}} \theta (t - 4\mu ^2 - \mu ^4 /s)\), dove 3/4<γ≤5/4, e δ(t-4μ2-μ4/s) per γ=3/4. Queste singolarità sono integrabilis e quindi la rappresentazione di Mandelstam è valida per γ≥3/4. Per γ<3/4 le singolarità non sono integrabili e la rappresentazione di Mandelstam nella sua forma solita non è valida. Come segue dalle considerazioni dell'articolo precedente (2) i risultati di questo articolos non cambiano per l'introduzione di un nucleo repulsivo logaritmicamente singolare.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

Literatur

  1. (1).
    O. Brander:Nuovo Cimento,61 A, 605(1969).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    O. Brander:Ark. f. Fys.,32, 131 (1966).Google Scholar
  3. (3).
    D. Bessis:Journ. Math. Phys.,6, 637 (1965).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    G. N. Watson:A Treatise on the Theory of Bessel Functions, second edition (Cambridge, 1944), p. 158.Google Scholar
  5. (5).
    M. J. Lighthill:Introduction to Fourier Analysis and Generalized Functions (Cambridge, 1958), p. 43.Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1969

Authors and Affiliations

  • O. Brander
    • 1
  1. 1.Institute of Theoretical PhysicsGöteborg

Personalised recommendations