On current-field identities

Summary

The spectral representation for the vacuum expectation value of the axial-vector-current commutator is used to discuss the current-field identities given byg _A a ^α_μ (x)=f _π∂_μϕ^α(x)+A ^α_μ (x). Herea ^α_μ (x) denotes the axial-vector-meson field,g _A is a properly chosen normalization constant, and the pion field ϕ^α(x) is defined by the relation$\partial ^\mu A_\mu ^\alpha (x) \equiv \widehat\varphi ^\alpha (x) = f_\pi m_\pi ^2 \varphi ^\alpha (x)$, whereA ^α_μ (x) denotes the axial vector current. We find that

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

and that these expressions vanish if and only if the pion field ϕ^α(x) is a free field. We also note that

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (\mathop x\limits_r ),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

and that these expressions vanish if and only if the axial vector currentA ^α_μ (x) is conserved. The consequences for canonical realizations of current-field identities and PCAC are given. We also find that the vacuum expectation value of the σ-term is nonvanishing unless the current is conserved and that a nonconserved charge cannot annihilate the vacuum (as stated by Coleman's theorem).

Riassunto

Si usa la rappresentazione spettrale del valore di aspettazione del vuoto per discuter e le identità corrente-campo date dag _A a ^α_μ (x)=f _π∂_μϕ^α(x)+A ^α_μ (x). Quia ^α_μ (x) denota il campo del mesone vettoriale assiale,g _A è una costante di rinormalizzazione opportunamente scelta, ed il campo pionico ϕ^α(x) è definito dalla relazione$\partial ^\mu A_\mu ^\alpha (x) \equiv \widehat\varphi ^\alpha (x) = f_\pi m_\pi ^2 \varphi ^\alpha (x)$, doveA ^α_μ (x) denota la corrente vettoriale assiale. Si trova che

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

e che queste espressioni si annullano se e solo se il campo pionico ϕ^α(x) è un campo libero. Si nota anche che

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (\mathop x\limits_r ),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

e che queste espressioni si annullano se e solo se la corrente vettoriale assialeA ^α_μ (x) è conservata. Si espongono le conseguenze per le realizzazioni canoniche delle identità corrente-campo e per PCAC. Si trova anche che il valore di aspettazione del vuoto del termine σ non tende a zero a meno che la corrente sia conservata e che una carica non conservata non possa annichilare il vuoto (come è affermato dal teorema di Coleman).

Резюме

Спектральное представление для вакуумной ожидаемой величины коммутатора аксиально-векторного тока используется для обсуждения ток-полевых тождеств, заданных соотношениемg _A a ^α_μ (x)=f _π∂_μϕ^α(x)+A ^α_μ (x). Здесьa ^α_μ (x) обозначает поле аксиально-векторного мезона,g _A есть надлежашим образом выбранная перенормировочная постоянная; пионное поле ϕ^α(x) определяется соотношением$\partial ^\mu A_\mu ^\alpha (x) \equiv \widehat\varphi ^\alpha (x) = f_\pi m_\pi ^2 \varphi ^\alpha (x)$, гдеA ^α_μ (x) представляет аксиально-векторный ток. Мы получаем, что

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

и что эти выражения обрашаются в нуль, если и только если пионное поле ϕ^α(x) представляет свободное поле. Мы также отмечаем, что

$$\left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_k }}a_0^\alpha (\mathop x\limits_r ),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } = \left\langle {\left[ {\frac{\partial }{{\partial x_0 }}a_k^\alpha (x),\widehat\varphi {}^\beta (y)} \right]} \right\rangle _{x_0 = y_0 } \propto \delta ^{\alpha \beta } \frac{\partial }{{\partial x_k }}\delta (x - y)$$

и что эти выражения обращаются в нуль, если и только если аксиально-векторный токA ^α_μ (x) сохраняется. Приводятся следствия для канонических реализаций токполевых тождеств и РСАС. Мы также находим, что вакуумная ожидаемая величина σ-члена не обращается в нуль, если ток не сохраняется, и что несохраняющийся заряд не может уничтожить вакуум (как утверждается теоремой Колемана).