Perturbation solution in a Laplace representation of the Schrödinger equation for pp scattering

Summary

The regular solution to the Schrödinger equation for the potential

$$V(r) = \frac{b}{r} + \frac{1}{r}\int\limits_m^\infty {\sigma (a)} exp[ - ar]da$$

is put in the form

$$u_L^R (r) = r^{ - L} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{ - i\infty + \varepsilon }^{i\infty + \varepsilon } {exp[kr]F_L (k)dk} $$

We obtain a differential equation forF _L(k) from which we get an integral equation. Iterating this equation we getF _L(k) expanded as a power series in the coupling constants. The case σ(a)=gδ(a−c) is treated explicitly and we show that whenc→0 the perturbation terms can be added up and the solution approaches the Coulomb solution forV(r)=(b+g)/r.

Riassunto

La soluzione regolare all’equazione di Schrödinger per il potenziale

$$V(r) = \frac{b}{r} + \frac{1}{r}\int\limits_m^\infty {\sigma (a)} exp[ - ar]da$$

si pone nella forma

$$u_L^R (r) = r^{ - L} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{ - i\infty + \varepsilon }^{i\infty + \varepsilon } {exp[kr]F_L (k)dk} $$

Si ottiene un’equazione differenziale perF _L(k), da cui si ricava un’equazione integrale. Per iterazione di questa equazione si deduce lo sviluppo diF _L(k) in serie di potenze delle costanti di accoppiamento. Si tratta esplicitamente il caso σ(a)=gδ(a−c) e si dimostra che perc→0, si possono sommare i termini perturbativi e la soluzione approssima la soluzione di Coulomb perV(r)=(b+g)/r.

Резюме

Регулярное решение уранея Шредингера для потенциала

$$V(r) = \frac{b}{r} + \frac{1}{r}\int\limits_m^\infty {\sigma (a)} exp[ - ar]da$$

представляется в форме

$$u_L^R (r) = r^{ - L} \frac{1}{{2\pi i}}\int\limits_{ - i\infty + \varepsilon }^{i\infty + \varepsilon } {exp[kr]F_L (k)dk} $$

Мы получаем дифференциальное уравнение дляF _L(k), из которого мы выводим интегральное уравнение. Итерируя это уравнение, мы находимF _L(k), разяоженное в степенной ряд по константе связи. Подробно исследуется случай σ(a)=gδ(a−c), и мы показываем, что, когдаc→0, пертурбационные члены суммируются и решение стремится к кулоновскому решению для (V(r)=(b+g)/r.