Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1971-1996)

, Volume 52, Issue 2, pp 389–431 | Cite as

Dynamics of unrenormalizable interactions in Minkowski and Euclidean spaces

  • W. Güttinger
  • E. Pfaffelhuber
Article

Summary

A new approach to unrenormalizable and marginally singular field theories is developed using generalized-function techniques and an unsubtracted Lehmann representation for increasing spectral functions. Solution methods for a class of unrenormalizable equations of time-ordered and nontime-ordered functions are devised in Minkowski and Euclidean spaces. It is shown that within ladder and string approximations unrenormalizable theories possess perturbative solutions in Minkowski space which are finite in every order and do not suffer from an infinite set of subtraction constants, the axioms of relativistic field theory being satisfied. Renormalization factorsZ 2,3 −1 turn out to be differential operators (depending on a scaling parameter to a change of which observable quantities are insensitive) and may be set equal to one without the theory becoming a free one. By complex extension, solutions nonanalytic in the coupling constant can be generated, representing interactions not associable with particle exchange. A mathematical formulation of peratization is given and confronted with the Minkowski-space perturbation approach. The formalism is applied to propagators, Wightman functions and Bethe-Salpeter amplitudes of relativistic four-fermion theories in string and ladder approximations and it is shown that the locality and positive-definiteness axioms are satisfied.

Динамика неперенормируемых взаимодействий в пространстве Минковского и Эвклида

Резюме

Развивается новый подход для неперенормируемых и маргинально сингулярных теорий поля, используя технику обобщенных функций и безвычитательное представление Леманна для возрастающих спектральных функций. Предлагаются методы решения для класса неперенормируемых уравнений для упорядоченных по времени и для неупорядоченных по времени функций в пространстве Минковского и Эвклида. Показывается, что в лестничном и струнном приближениях неперенормируемые теории обладают решениями по теории возмущений в пространстве Минковского, которые являются конечными в каждом порядке и не страдают от бесконечной системы вычитательных констант, причем аксиомы релятивистской теории поля вьшолняются. Перенормировочные множителиZ 2,3 −1 оказываются дифференциальными операторами (зависящими от скалярного параметра, к изменению которого наблюдаемые величины оказываются нечувствительными), и могут быть положены равными единицы, без того, чтобы теория стала свободной. С помощью продолжения в комплексную область, решения, неаналитические по константе связи, могут быть образованы, представляя взаимодействия, не связанные с обменом частицами. Приводится математическая формулировка «ператизации» и сопоставляется с методом теории возмущений в пространстве Минковского. Указанный формализм применяется к пропагаторам, функциям Вайтмэна и амплитудам Бете-Салпетера для релятивистских четырех-фермионных теорий в струнном и лестничном приближениях, и показывается, что аксиомы локализации и положительной определенности вьшолняются.

Riassunto

Si sviluppa un nuovo approccio alle teorie di campo non rinormalizzabili e marginalmente singolari, per mezzo delle tecniche delle funzioni generalizzate e di una rappresentazione di Lehmann non sottratta per funzioni spettrali crescenti. Si ideano metodi di soluzione per una classe di equazioni non rinormalizzabili delle funzioni ordinate e non ordinate nel tempo negli spazi di Minkowski e di Euclide. Si dimostra che nelle approssimazioni a gradini e a stringa le teorie non rinormalizzabili possiedono soluzioni perturbative nello spazio di Minkowski che sono finite in ogni ordine e non son influenzate da un gruppo infinito di costanti di sottrazione, purchè siano soddisfatti gli assiomi della teoria dei campi relativistica. Risulta che i fattori di rinormalizzazioneZ 2,3 −1 sono separatori differenziali (dipendenti da un parametro di scala al cui cambiamento le quantità osservabili sono insensibili) e possono essere posti uguali ad uno senza che la teoria divenga libera. Per estensione complessa si possono generare soluzioni non analitiche nella costante di accoppiamento, che rappresentano interazioni non associabili allo scambio di particelle. Si dà una formulazione matematica della peratizzazione e la si confronta con l’approccio perturbativo nello spazio di Minkowski. Si applica questo formalismo ai propagatori, alle funzioni di Wightman e alle ampiezze di Bethe-Salpeter delle teorie relativistiche di quattro fermioni nelle approssimazioni a gradini e a stringa e si dimostra che sono soddisfatti gli assiomi di località e definizione positiva.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    G. Feinberg andA. Pais:Phys. Rev.,131, 2724 (1963);133, B 477 (1964);T. D. Lee:Phys. Rev.,128, 899 (1962);H. M. Fried:Phys. Rev.,133, B 1562 (1964);R. F. Sawyer:Phys. Rev.,134, B 448 (1964);B. Schroer:Journ. Math. Phys.,5, 1361 (1964);K. Bardakci andB. Schroer:Journ. Math. Phys.,7, 10, 16 (1966);G. Domokos andP. Suranyi: CERN preprints, 1964;A. B. Arbuzow andA. T. Filippov:Nuovo Cimento,38, 796 (1965);W. Güttinger:Nuovo Cimento,10, 1 (1958);Nucl. Phys.,9, 429 (1959);W. Güttinger, R. Penzl andE. Pfaffelhuber:Ann. of Phys.,33, 246 (1965);M. B. Halpern:Phys. Rev.,140, B 1570 (1965);A. P. Contogouris:Nuovo Cimento,37, 1712 (1965); CERN preprints 1965/66;A. Jaffe, F. Rohrlich, F. Wray andM. K. Volkov: preprints.CrossRefADSMathSciNetGoogle Scholar
  2. (2).
    K. Bardacki andB. Schroer:Journ. Math. Phys.,7, 10, 16 (1966).CrossRefADSGoogle Scholar
  3. (3).
    M. B. Halpern:Ann. of Phys.,39, 351 (1966).CrossRefADSGoogle Scholar
  4. (4).
    H. Lehmann:Nuovo Cimento,11, 324 (1954).CrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    S. Schweber:Introduction to Relativistic Quantum Field Theory (New York, 1962).Google Scholar
  6. (6).
    W. Güttinger:Fortsch. d. Phys.,14, 483 (1966).CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  7. (7).
    A. Rieckers, W. Güttinger andE. Pfaffelhuber:Lorentz invariant generalized functions, Munich preprint 1967.Google Scholar
  8. (8).
    I. M. Gel’fand andG. E. Shilow:Generalized Functions (New York, 1964);L. Schwartz:Théorie des distributions (Paris, 1951).Google Scholar
  9. (9).
    W. Güttinger:Nuovo Cimento,10, 1 (1958);Nucl. Phys.,9, 429 (1959). Cf. alsoG. V. Efimov:Commun. Math. Phys.,5, 42 (1967).CrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    S. Okubo:Nuovo Cimento,19, 574 (1961).CrossRefMathSciNetMATHGoogle Scholar
  11. (11).
    W. Güttinger:Phys. Rev.,89, 1004 (1953); cf. also Ref. (7)A. Rieckers, W. Güttinger andE. Pfaffelhuber:Lorentz invariant generalized functions, Munich preprint 1967.CrossRefADSMATHGoogle Scholar
  12. (12).
    E. Pfaffelhuber:Thesis (Munich, 1966).Google Scholar
  13. (13).
    E. Pfaffelhuber andW. Güttinger: to be published.Google Scholar
  14. (14).
    W. Güttinger, R. Penzl andE. Pfaffelhuber:Ann. of Phys.,33, 246 (1965);E. Pfaffelhuber andR. Blomer:Ann. of Phys., in press.CrossRefADSGoogle Scholar
  15. (15).
    K. M. Case:Phys. Rev.,81, 765 (1951).Google Scholar
  16. (16).
    H. Cornille:Nuovo Cimento,39, 557 (1965); and CERN preprints;H. Aly andH. Müller: Munich preprints, 1965/66;F. Calogero:Nuovo Cimento,34, 1712 (1964).CrossRefMathSciNetGoogle Scholar
  17. (17).
    E. Pfaffelhuber andW. Güttinger:Nuovo Cimento,43 A, 423 (1966).CrossRefADSGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • W. Güttinger
    • 1
  • E. Pfaffelhuber
    • 2
  1. 1.CERNGeneva
  2. 2.Department of PhysicsUniversity of MunichMunich

Personalised recommendations