Dimensional regularization of the Schwinger coefficient

Summary

We show that the dimensional regularization of the vacuum polarization amplitude contributed by fermion loops regularizes automatically the Schwinger coefficient. Contrary to what happens in the Pauli-Villars method, the regularized coefficient is not zero. It is proportional to the volume of the unit sphere in the corresponding Euclidean space-time. This result would have serious implications for gauge invariance if positivity and spectral constraints cannot be relaxed. Violations of these constraints are not necessary to achieve the convergence of the integral over the imaginary part of the vacuum polarization amplitude.

Riassunto

Si mostra che la regolarizzazione dimensionale dell'ampiezza di polarizzazione del vuoto fornita da cappi di fermioni regolarizza automaticamente il coefficiente di Schwinger. Contrariamente a ciò che accade per il metodo di Pauli-Villars, il coefficiente regolarizzato è non nullo. È inoltre proporzionale al volume della sfera unitaria nello spaziotempo euclidiano corrispondente. Questo risultato avrebbe importanti implicazioni nell'invarianza di gauge se la positività e i vincoli spettrali non si potessero rendere meno rigidi. La violazione di questi vincoli non è necessaria per ottenere la convergenza dell'integrale della parte immaginaria dell'ampiezza di polarizzazione del vuoto.

Резюме

Мы показываем, что размерная регуляризация амплитуды поляризации вакуума, в которю дают вклад фермионные петли, автоматически регуляризует коэффициент Швингера. В противоположность этоми, в методе Паули-Вилларса регуляризованный коэффициент не равен нулю. Этот коэффициент пропорционален объему единичной сферы в соответствующем эвклидовом пространстве-времени. Этот результат будет иметь серьезные следствия для калибровочной инвариантности, если ограничения положительности и спектральные ограничения не могут быть ослаблены. Нарушения этих ограничений не являются необходимыми для достижения сходимости интеграла от мнимой части амплитуды поляризации вакуума.