Note sur la méthode „Co“ pour le calcul des réserves mathématiques

Inhaltsangabe

DieCo-Methode ist eine Methode zur approximativen Berechnung der Prämienreserve einer großen Klasse von Versicherungsformen mittels dreier Hilfszahlen, die besonders für Bestandsberechnungen geeignet ist. Sie geht von der Annahme aus, daß sich die Prämienreserven ausreichend genau durch eine Funktion der Form

$${\text{R(t) = A(1 + i)}}^{{\text{t - t(a)}}} + {\text{Q(t - t(a)) + W}}$$

darstellen lassen, wobei i passend (z. B. 8%) zu wählen ist und die drei Koeffizienten A, Q, W so bestimmt werden, daß Übereinstimmung zwischen Reserve und R(t) an drei vorgeschriebenen Stellen eines Intervalls (z. B. am Ende des 1. (= t(a)), des 7. und 14. Versicherungsjahres bei 15jähriger Versicherungsdauer) besteht. Der wesentliche Grundgedanke der Methode ist nun, durch Einführung eines Zeitpunktes T, der für alle Versicherungen des Bestandesin der Zukunft liegt (z. B. 1975), obige Formel so umzugestalten, daß die in der Gleichung auftretenden Koeffizienten von t unabhängig werden und sich über einen Bestand einfach aufaddieren lassen. Dies leistet die Umformung

$${\text{P' = A(l + i)}}^{{\text{T - t(a)}}} ,{\text{Q' = Q,W' = W + Q(T - t(a))}}{\text{.}}$$

Es wird dann die Bestandsreserve zum Zeitpunkt t

$$\sum {{\text{R(t) = }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{(1 + i)}}^{{\text{T - t}}} }} \cdot \sum {{\text{P' - (T - t)}}} \sum {{\text{Q'}}} + \sum {{\text{W}}{\text{.}}} } $$

Für die Güte der Approximation ist eine geschickte Auswahl der Intervalle von Bedeutung, bei längeren Versicherungsdauern sind zwei bis drei Intervalle vorzusehen — ähnlich wie bei derJecklinschen F-Methode, die sich von der Co-Methode u. a. darin unterscheidet, daß sie das Zugangsjahr als Bezugsgröße nimmt.

Diese Methode wird praktisch für die Reserveberechnung eines Versicherungsbestandes eines französischen Lebensversicherungsunternehmens seit mehreren Jahren beiEinsatz einer elektronischen Rechenanlage (IBM 705) verwandt. Hierfür beschreibt Verf. die drei verschiedenen Arbeitsgänge in der IBM 705:

• 1. Einmalige Berechnung der ursprünglichen Koeffizienten A, Q, W in Tabellenform für alle möglichen Tarifkombinationen (jedoch bei Versicherungen, deren Reserve nur wenig mit dem Eintrittsalter variieren, nur für jedes 3. oder 5. Alter und ähnliche Vereinfachungen) und notwendigen Intervallen;

• 2. laufende (monatliche)Berechnung der endgültigen Koeffizienten P′, Q′ und W′ je Versicherung anläßlich ihrer Aufnahme in den „Bestand“ oder bei Änderung der Intervalle (Bestandsbereinigung);

• 3. alljährliche Bestimmung der Bestandsreserve durch einfache Addition der Koeffizienten ohne jede Vorsortierung und Multiplikation ihrer Summen mit

  $$\frac{1}{{1,08^{{\text{T - t}}} }}{\text{bzw}}{\text{.(T - t)}}{\text{.}}$$

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Summary

TheCo-Technique permits an approximate valuation of almost all types of life insurance and is therefore especially suited for calculations such as the premium reserve of an office. Its basic assumption is that the premium reserve is well represented by a function of the type

$${\text{R(t) = A(1 + i)}}^{{\text{t - t(a)}}} + {\text{Q(t - t(a)) + W}}$$

where, after a careful choice of i (e. g. 8%), the parameters A, Q, W are calculated in such way that the reserves and R (t) have the same values at three different points in time (e.g. at the end of the first (= t(a)), of the seventh, and of the fourteenth year for a policy of 15 years duration). By introduction of a point in timein the future, e.g. T = 1975, it is possible — and that is the essential idea — to transform the parameters in such way that for an office valuation a simple addition of the parameters is sufficient. Indeed, when

$${\text{P' = A(1 - i)}}^{{\text{T - t(a)}}} ,{\text{Q' = Q,W' = W + Q(T - t(a)}}$$

the office premium reserve will be (without any grouping)

$$\sum {{\text{R(t) = }}\frac{{\text{1}}}{{{\text{(1 + i)}}^{{\text{T - t}}} }} \cdot \sum {{\text{P' - (T - t)}}} \sum {\text{Q}} + \sum {{\text{W}}{\text{.}}} } $$

Naturally, for the goodness of fit a careful selection of the periods is of importance; if the duration of a policy is more than 15 years, more than two periods are necessary — see alsoJecklin’s F-method.

For several years this technique has been applied by aFrench life insurance company and all calculations are done by anelectronic computer, an IBM 705. Three different programs are prepared and successfully applied:

• 1. calculation of the original parameters A, Q, W,once and for all, of all possible policies (within certain limits, e.g. with sum insured 10000 fr; sometimes only each third or fifth age of entry is provided for...)

• 2. calculation of the final parameters P′, Q′, W′ in the course ofupdating the master file (monthly), and

• 3. calculation of the premium reserve of the office,once a year, by simple summing of all parameters (without any sorting) and multiplying their sums by

  $$\frac{1}{{1 - {\text{i}}^{{\text{T - t}}} }}{\text{and (T - t) respectively}}{\text{.}}$$

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