Estimation of mortalities

Zusammenfassung

Bei der SchÄtzung von Sterblichkeiten mittels log-linearer Regression und Rücktransformation gemÄ\ der Formel Ee^Y = e^Μ+Σ2/2 entsteht ein systematischer Bias, es sei denn, die Fehlerverteilung ist exakt normal und der SkalenschÄtzer schÄtzt die Varianz. Dies folgt aus dem Eindeutigkeitssatz für die Laplace-Transformierte.

Unter uniformer Fehlerverteilung und vier kontaminierten Normalverteilungen bestimmen wir den Bias für Minimum-L₂ und -L₁ SchÄtzungen mit Stichprobenvarianz und Quartilsabstand der Residuen als SkalenschÄtzer. Schon bei unscheinbarer Kontamination können die wahren Sterblichkeiten im statistischen Mittel systematisch um 50% unterschÄtzt werden. überdies führt die logarithmische Transformation zu einer InstabilitÄt des Modells, welche sich in einer gro\en Diskrepanz der SchÄtzer vom Typ rg-Huber bei sich Ändernder tuning-Konstante, die den Grad der Robustheit steuert, Äu\ert.

Im Unterschied zum Logarithmus stabilisiert die Wurzel-Transformation die Varianz, sie dÄmpft den Einflu\ von Ausrei\ern, beobachtete Null-HÄufigkeiten verursachen keine Probleme, sie führt auf die “nichtparametrische” Rücktransformationsformel EY² = Μ² + Σ² und verhindert im homoskedastischen Fall einen systematischen Bias der Minimum-L₂ SchÄtzung mit Stichprobenvarianz.

Für die unternehmensspezifische Tafel 3 in [Loeb94] passen wir im Altersbereich 20–65 Jahre eine Parabel an die Wurzeln der Sterblichkeiten an, und zwar mittels Minimum-L₂, -L₁ und robusten rg_Huber SchÄtzungen, sowie ein kubisches Polynom und eine Exponentialfunktion mittels Kleinste-Quadrate. Die damit im Originalmodell erzielten Anpassungen sind hervorragend und praktisch mit einem X-Anpassungstest nicht zu unterscheiden.

Schlie\lich verwenden wir ein Poissonsches generalisiertes lineares Modell und schÄtzen eine Exponentialfunktion und ein kubisches Polynom nach der Maximum-Likelihood Methode ohne jegliche Transformation von Beobachtungen.

Summary

If a linear regression if fit to log-transformed mortalities and the estimate is back-transformed according to the formula Ee^Y = e^Μ+Σ2/2 a systematic bias occurs unless the error distribution is normal and the scale estimate is gauged to normal variance. This result is a consequence of the uniqueness theorem for the Laplace transform.

We determine the systematic bias of minimum-L₂ and minimum-L₁ estimation with sample variance and interquartile range of the residuals as scale estimates under a uniform and four contaminated normal error distributions. Already under innocent looking contaminations the true mortalities may be underestimated by 50% in the long run.

Moreover, the logarithmic transformation introduces an instability into the model that results in a large discrepancy between rg_Huber estimates as the tuning constant regulating the degree of robustness varies.

Contrary to the logarithm the square root stabilizes variance, diminishes the influence of outliers, automatically copes with observed zeros, allows the “nonparametric” back-transformation formula EY² = Μ²+Σ² and, in the homoskedastic case, avoids a systematic bias of minimum-L₂ estimation with sample variance.

For the company-specific table 3 of [Loeb94], in the age range of 20–65 years, we fit a parabola to root mortalities by minimum-L₂, minimum-L₁, and robust rg_ Huber regression estimates, and a cubic and exponential by least squares. The fits thus obtained in the original model are excellent and practically indistinguishable by a X² goodness-of-fit test.

Finally, dispensing with the transformation of observations, we employ a Poisson generalized linear model and fit an exponential and a cubic by maximum likelihood.