Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 13, Issue 4, pp 1065–1077 | Cite as

Group ring of a dynamical invariance group

  • R. Dirl
  • G. Angerer
Article

Summary

ŜU2, a group of unitary operators isomorphic to the 2-dimensional unimodular unitary group, is the dynamical invariance group of the 2-dimensional harmonic oscillator. The corresponding group ring
is used to classify completely the eigenfunctions, to represent arbitrary operators having nonvanishing matrix elements only within irreducible representations as unique functions of some special ring elements, and to construct general irreducible tensor operators whose matrix elements obey the known selection rules (Wigner-Eckhart theorem).

Групповое кольцо динамической инвариантной группы

Резюме

ŜU2, группа унитарных операторов, изоморфных двумерной унимодулярной унитарной группе, представляет динамическую инвариантную группу двумерного гармонического осциллятора. Соответствующее групповое кольцо
используется для классификации собственных функций, для представления произвольных операторов, имеющих не обращающиеся в нуль матричные элементы только внутри неприводимых представлений, в виде однозначных финкций некоторых специальных элементов кольца, и для конструирования общих неприводимых тензорных операторов, матричные элементы которых подчиняются известным правилам отбора (теорема Вигнера-Екхарта).

Riassunto

SU2, un gruppo di operatori unitari isomorfo col gruppo unitario unimodulare bidimensionale, è il gruppo d'invarianza dinamico dell'oscillatore armonico bidimensionale. Si usa l'anello del gruppo corrispondente
per classificare completamente le autofunzioni, per rappresentare operatori arbitrari che hanno elementi di matrice che non tendono a zero solo entro rappresentazioni irriducibili come funzioni uniche di alcuni speciali elementi dell'anello, e per costruire operatori tensoriali irriducibili generali i cui elementi di matrice obbediscono alle note regole di selezione (teorema di Wigner-Eckhart).

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    G. Racah:Lectures on Lie Groups, inF. Gürsey:Group Theoretical Concepts and Methods in Elementary Particle Physics (New York, 1964).Google Scholar
  2. (2).
    R. Hermann:Lie Groups for Physicists (New York, 1966).Google Scholar
  3. (3).
    N. Jacobson:Lie Algebras (New York, 1966).Google Scholar
  4. (4).
    B. Vitale:«Invariance» and «Noninvariance» Dynamical Groups, inM. Bemporad andE. Ferreira:Selected Topics in Solid State and Theoretical Physics (New York, 1968).Google Scholar
  5. (5).
    Yu. N. Demkov:Sov. Phys. JETP,9, 63 (1959).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  6. (6).
    Yu. N. Demkov:Sov. Phys. JETP,17, 1349 (1963).MATHMathSciNetGoogle Scholar
  7. (7).
    G. A. Baker, jr.:Phys Rev.,103, 1119 (1956).MATHMathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  8. (8).
    S. P. Alliluev:Sov. Phys. JETP,6, 156 (1958).ADSGoogle Scholar
  9. (9).
    J. D. Talman:Spectral Functions, A Group Theoretic Approach (New York, 1968).Google Scholar
  10. (10).
    R. Dirl andG. Angerer:The group ring of the dynamical invariance group of the hydrogen atom (in preparation).Google Scholar
  11. (11).
    I. E. Segal:Mathematical Problems of Relativistic Physics (Providence, R. I., 1963).Google Scholar
  12. (12).
    M. A. Naimark:Normed Rings (Groningen, 1964).Google Scholar
  13. (13).
    N. J. Vilenkin:Special Functions and the Theory of Group Representations (Providence, R. I., 1968).Google Scholar
  14. (14).
    R. Dirl:Some remarks on the group ring of the 2-dimensional unimodular unitary group (in preparation).Google Scholar
  15. (15).
    J. Schwinger:On Angular Momentum, inQuantum Theory of Angular Momentum (New York, 1965).Google Scholar
  16. (16).
    F. D. Murnaghan:The Unitary and Rotation Groups (Washington, D.C., 1962).Google Scholar
  17. (17).
    M. A. Rose:Elementary Theory of Angular Momentum (New York, 1957).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1973

Authors and Affiliations

  • R. Dirl
    • 1
  • G. Angerer
    • 1
  1. 1.Institut für theoretische Physik der Technischen Hochschule WienWien

Personalised recommendations