Advertisement

Il Nuovo Cimento (1955-1965)

, Volume 3, Issue 6, pp 1177–1185 | Cite as

Introduction of « true observables » into the quantum field equations

  • P. G. Bergmann
Article

Summary

In connection with our work on the quantization of general relativity, we have investigated the equations of quantum electrodynamics, with the unrestricted gauge group, that is without specializing to Lorentz or Coulomb gauge. Even before quantization, we formulate the theory in terms of « true observables » only. We define these as dynamical variables generating canonical transformations leading from one permissible state to another; a permissible state, in turn, is a set of values of all canonical variables that obeys the gauge constraints. Similarly an observable in the quantized theory must be a Hermitian operator within the Hubert space of permissible states; the latter are those obeying the gauge constraints. Transition to the true observables not only eliminates the longitudinal parts, of the vector potential and the scalar potential from the theory, but also the longitudinal components of the electric field strength. Likewise, the operators that create and annihilate charged particles are not themselves observables, but one can construct product combinations that are. Such (gauge-invariant) products involve the product of a creator by an annihilator at different space points, multiplied by a functional that depends on a line integral of the vector potential, the path of integration being any curve connecting the two space points. It turns out that the Hamiltonian can in fact be written in terms of these observables only, and that the infinite self-energy caused by non-transverse photons is eliminated automatically.

Riassunto

In connessione col lavoro che stiamo svolgendo sulla quantizzazione della relatività generale, abbiamo investigato le equazioni della elettrodinamica quantistica col gruppo di gauge non ristretto, vale a dire senza specializzarsi al gauge di Lorentz e di Coulomb. Noi formuliamo la teoria, anche prima della quantizzazione, in termini solo di « vere osservabili ». Queste ultime sono definite come variabili dinamiche che generano trasformazioni canoniche che trasformano uno « stato permesso » in un altro, intendendosi per « stato permesso » un insieme di valori di tutte le variabili canoniche che rispettano i vincoli di gauge. Similmente, nella teoria quantizzata, un’osservabile dev’essere un operatore hermitiano nello spazio hilbertiano degli stati permessi. La transizione alle vere osservabili non solo elimina dalla teoria il potenziale scalare e le parti longitudinali del Potenziale vettore, ma anche le componenti longitudinali del campo elettrico. Ovviamente, gli operatori ehe creano e distruggono particelle cariche non sono di per sè osservabili, ma se ne possono costruire combinazioni (in forma di prodotti) ehe lo sono. Tali prodotti (gauge-invarianti) involvono il prodotto di un creatore per un distruttore in punti differenti dello spazio, moltiplicati per un funzionale che dipende da un integrale di linea del potenziale vettore e calcolato su una qualsiasi curva che connette i due punti suddetti. Ne segue che l’hamiltoniana può essere espressa in termini soltanto di dette variabili e ehe la selfenergia infinita causata dai totoni non trasversali è automaticamente eliminata.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    P. G. Bergmann andI. Goldberg:Phys. Rev.,98, 531, 544 (1955).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    P. A. M. Dirac:Can. Journ. of Math.,2, 129 (1950);3, 1 (1951).MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    P. G. Bergmann andJ. H. M. Brunings:Rev. Mod. Phys.,21, 480 (1949).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1956

Authors and Affiliations

  • P. G. Bergmann
    • 1
  1. 1.Department of PhysicsSyracuse UniversityN. Y.

Personalised recommendations