Conformal operator product expansions and field equations of motion in Abelian gauge theories

Summary

In this paper we study the Euclidean conformal covariant operator product expansion of one spinor field ψ(x) with dimensiond and of one vector field with dimension 1 in the gradient model in 4 dimensions and in the Thirring model in 2 dimensions. The fields contributing to the operator product can be determined by making the partial-wave analysis of the Schwinger functions of the theory in terms of operators belonging to irreducible representations of the conformal group and finding with the help of Ward identities the poles of the expansions in the dimensionl of these operators. If we consider operators with spin 1/2, there are in both models two poles: one forl=d, which is connected with the contribution of the fundamental field ψ(x), and one forl=d+1, which has a kinematical nature and can be represented in the operator product expansion by a field$\psi _1 \left( x \right)$ with dimensiond+1. This, however, gives rise to problems of compatibility with the equation of motion of the field ψ(x). From this fact some interesting results about the models can be derived: closed equations for the Schwinger functions of the models and the relation between the dimensionsd of ψ(x) and the coupling constant.

Riassunto

In questo lavoro si studia nello spazio euclideo lo sviluppo conforme covariante del prodotto operatoriale di un campo spinoriale ψ(x) di dimensioned e di un campo vettoriale di dimensione 1 nel modello a gradiente in 4 dimensioni e nel modello di Thirring in 2 dimensioni. I campi che contribuiscono al prodotto possono essere determinati esaminando lo sviluppo in onde parziali delle funzioni di Schwinger della teoria in termini di operatori appartenenti a rappresentazioni irriducibili del gruppo conforme e trovando con l'aiuto d'identità di Ward i poli di tale sviluppo nella dimensionel degli operatori. Considerando operatori di spin 1/2 si trovano in entrambi i modelli due poli: uno perl=d, corrispondente al contributo del campo fondamentale ψ(x), e uno perl=d+1, che è di natura cinematica e che può essere rappresentato nello sviluppo del prodotto operatoriale da un campo$\psi _1 \left( x \right)$ di dimensioned+1, cosa tuttavia che comporta problemi di compatibilità con l'equazione del moto del campo ψ(x). Da questo fatto possono essere derivati alcuni interessanti risultati sui modelli considerati: equazioni chiuse per le funzioni di Schwinger dei modelli e la relazione tra la dimensione di ψ(x) e la costante di accoppiamento.

Резюме

В этой работе мы кзучаем в эвклидовом пространстве разложение произведений конформных ковариантных операторов одного спинорного поля ψ(x) с размерностьюd и одного векторного поля с размерностью 1 в градиентной модели в 4 измерениях и в модели Тирринга в 2 измерениях. Поля, входящие в операторное произведение, могут быть определены посредством разложения по парциальным волнам функций Швингера для теории в терминах операторов, принадлежащих неприводимым представлениям конформной группы, и посредством нахождения с помощью тождеств Уорда полюсов разложений при размерностиl для этих операторов. Рассматривая операторы со спином 1/2, для обоих моделей имеются два полюса: один дляl=d, который связан с вкладом фундаментального поля ψ(x) и один дляl=d+1, который имеет кинематическую природу и может быть представлен в виде разложения произведения операторов поля$\psi _1 \left( x \right)$ с размерностьюd+1, что приводит к возникновению проблемы совместимости с уравнением движения для поля ψ(x). Из этого факта можно вывести некоторые интересные результаты для рассмотренных моделей: замкнутые уравнения для функций Швингера этих моделей и связь между размерноствюd поля ψ(x) и постоянной связи.