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Il Nuovo Cimento (1955-1965)

, Volume 37, Issue 4, pp 1659–1672 | Cite as

On covariant differentiation within a null hypersurface

  • G. Lemmer
Article

Summary

A 4-dimensional Eiemannian space-time does not induce sufficient structure on a null hypersurface to enable us to define covariant differentiation within the hypersurface according to the usual procedures of differential geometry. An attempt to provide a definition using basic aspects of the Lorentz group in the spirit of gauge invariance also fails owing to the nonsemi-simple nature of that subgroup of the Lorentz group which preserves a null hypersurface. In order to proceed we make an assumption, familiar in gravitational radiation theory, which eliminates space-times admitting locally cylindrical ray congruences and enables us to provide a rigging of the null surface. A definition of induced covariant differentiation within the null surface follows directly and the Gauss-Codazzi equations are derived. To conclude, a prescription for raising and lowering indices on quantities in the null surface is given.

Riassunto

Uno spazio-tempo riemanniano quadridimensionale non genera su una ipersuperficie nulla struttura sufficiente per permetterci di definire coi soliti procedimenti della geometria differenziale la differenziazione covariante entro l’ipersuperficie. Anche il tentativo di formulare una definizione secondo gli aspetti fondamentali del gruppo di Lorentz nello spirito dell’invarianza di misura fallisce per la natura non semisenrplice di questo sottogruppo del gruppo di Lorentz che conserva una ipersuperflcie nulla. Per procedere facciamo un’ipotesi, familiare nella teoria della radiazione gravitazionale, che eliminagli spazio-tempi che ammettono localmente congruenze di raggi cilindriche e ci permette di dare una rigatura della superficie nulla. Una definizione della differenziazione covariante indotta entro la superficie nulla segue direttamente e si deducono le equazioni di Gauss-Codazzi. Per concludere si dà una regola per alzare ed abbassare gli indici delle grandezze sulla superficie nulla.

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Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1965

Authors and Affiliations

  • G. Lemmer
    • 1
  1. 1.Department of Applied Mathematics and Theoretical PhysicsUniversity of CambridgeCambridge

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