A non-linear generalization of the Schrödinger and Dirac equations (II)

Summary

The method of generalization applied in I to the Schrödinger and Dirac wave equations and to the classical Hamilton-Jacobi equation is extended to all the theories derived from variational principles admitting the gauge invariance of the first kind. By a slight change of the ordinary definition of the gauge transformations of the first kind, the Hamilton-Jacobi theory and the dynamics of the inviscid barotropic fluids are also included. In all cases, the method of generalization corresponds to the passage from the irrotational to the vortex motions of the invisid fluids, althouth the part of the voriticity be taken over by other quantities. It is shown that theorems analogous to those of Helmholtz, Kelvin and Cartan and the Cauchy formula of the theory of the vortex motions of an inviscid barotropic fluid can be extended to the generalization of the gauge invariant field formalism, the vorticity being replaced by a non-integrability vector appearing in the formalism. The generalization method may be regarded as consisting in the replacement of quantities similar to the phases of the wave functions by non integrable quantities.

Riassunto

Il metodo di generalizzazione applicato in I alle equazioni d’onda di Schrödinger e Dirac e all’equazione classica di Hamilton-Jacobi si estende a tutte le teorie derivate da principi variazionali che ammettono la «gauge invariance» di prima specie. Con una lieve modificazione della definizione oridinaria della trasformazione di gauge di prima specie, vi si includono anche la teoria di Hamilton-Jacobi e la dinamica dei liquidi barotropici non viscosi. In tutti i casi il metodo di generalizzazione corrisponde al passaggio dai moti irrotazionali ai moti vorticosi de fluidi non viscosi, benchè il ruolo della vorticità sia assunto da altre grandezze. Si dimostra che si possono estendere alla generalizzazione del formalismo del campo gauge-invariante teoremi analoghi a quelli di Helmholtz, Kelvin e Cartan e la formola di Cauchy della teoria del moto vorticoso di un fluido barotropico non viscoso, la vorticità essendo sostituita da un vettore di non integrabilità che compare nel formalismo. Il metodo di generalizzazione può considerarsi consistere nella sostituzione di grandezze simili alle fasi delle funzioni d’onda per mezzo di grandezze non integrabili.