Dispersion relations and the causality concept

Summary

It is well known that the scattering functionS(x) associated with a cut potential has certain analytic properties that make it satisfy dispersion relations. It is of interest to see how these analytic properties are modified when the potentials are not cut-off at a certain point, but continue to infinity, going asymptotically to zero there. The discussion is first carried using a causality condition enunciated as follows : The wave function associated with any initial wave packet remains bounded for all time. As a consequence of the causality condition, we obtained that it is no longer theS(x), but a new function, which we call the dispersion function, that satisfies the analytic properties that imply dispersion relations. We also check these analytic properties directly from the Schrödinger equation. Finally, to discuss the significance of the poles of the dispersion and scattering functions, we analize in detail the scattering by the Eckart potential, obtaining the time dependent Green function in terms of basic interaction Green (BIG) functions associated with the poles of the dispersion function. From the behaviour of the BIG functions, as functions of time, we can also obtain restrictions on the analytic behaviour of the dispersion function.

Riassunto

È ben noto che la funzione di scatteringS(x) associata ad un Potenziale di taglio ha certe proprietà analitiche che fanno si che essa soddisfi alle relazioni di dispersione. È interessante studiare come vengono modificate queste proprietà analitiche quando i potenziali non vengono tagliati a un determinate punto, ma continuano all’infinito, ivi tendendo asintoticamente allo zero. La discussione si fa dapprima usando una condizione di causalità enunciata come segue. La funzione d’onda associata ad ogni pacchetto d’onde iniziale rimane sempre limitata. In conseguenza della condizione di causalità, si è ottenuto che non c più la funzioneS(x), ma una nuova funzione, che chiamiamo funzione di dispersione, a soddisfare le proprietà analitiche che implicano relazioni di dispersione. Noi verifichiamo queste proprietà analitiche anche direttamente dalla equazione di Schrödinger. Infine, per discutere il significato dei poli delle funzioni di dispeTsione e scattering, analizziamo dettagliatamente lo scattering da parte del Potenziale di Eckart, ottenendo la funzione di Green dipendente dal tempo in termini delle funzioni di interazione di Green (BIG) associate ai poli della funzione di dispersione. Dal comportamento delle funzioni BIG, in funzione del tempo, otteniamo anche le restrizioni al comportamento analitico della funzione di dispersione.