Transformations of the schrödinger equation with discrete energy spectrum

Summary

Two methods are presented in this paper permitting in some rather special cases to derive one eigenequation, its eigenvalues and corresponding eigenfunctions starting from another eigenvalue problem which is supposed to be already solved. If both methods are applied to a given Schrödinger equation, two new Schrödinger equations are derived. The first method changes both the potential and the energy spectrum, while the second method changes only the potential. The combined use of both methods permits to derive the solution of a small group of quantum mechanical problems starting from the solutions of the one-dimensional harmonic oscillator and the hydrogenlike atom. Some possible physical applications of the above results are indicated on the third section of the paper.

Riassunto

In questo articolo si presentanto due metodi che permettono, in alcuni casi piuttosto speciali, di derivare un’autoequazione, i suoi autovalori e le corrispondenti autofunzioni a partire da un altro problema di autovalori che si suppone già risolto. Se si applicano i due metodi ad una data equazione di Schrödinger, si deducono due nuove equazioni di Schrödinger. Il primo metodo cambia sia il Potenziale che lo spettro di energia, mentre il secondo metodo cambia solo il potenziale. L’uso combinato di entrambi i metodi permette di dedurre la soluzione di un piccolo gruppo di problemi di meecanica quantistica partendo dalle soluzioni dell’oscillatore armonico unidimensionale e dell’atomo idrogenoide. Nella terza sezione dell’articolo si indicano alcune possibili applicazioni fisiche dei risultati suddetti.