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Il Nuovo Cimento (1955-1965)

, Volume 37, Issue 3, pp 1180–1227 | Cite as

On the asymptotic approximation for the elastic scattering by a potential

I. - Monotonie potential and uncritical range
  • P. C. Sabatier
Article

Summary

— The set of approximations usually known as the « semi-classical description of scattering » is developed in such a way that the next orders in the asymptotic expansions may be calculated. An additional approximation enables one to treat the effects of surface potentials and, in particular, spin-orbit potentials. In order to avoid nonessential difficulties, the derivation is done in this paper for monotonie potentials and energies above the critical energy. It is shown that the JWKB phase-shift considered as a function ↔(p) of the classical angular momentum may be written as the fractional integral of a function associated to the potential and reducing to it for very large energies. One infers from this that the cosine Fourier transform of exp [2i↔(p)] is negligible beyond π for an analytic potential and this suggests a method tot ransform the discreteF axen-Holtzmark expansion into an integral. A failure of this scheme occurs near a singularity like the critical point and gives rise to oscillations which may be the most important term at large angles. Applications of the semi-classical analysis are given for the study of interference oscillations in the cross-section and polarization curves of neutron-nucleus scattering. The legitimacy of the JWKB phase-shift is questioned in the fourth Section of this paper. Careful methods are given to make an evaluation of the neglected terms and it is shown that in the neighbourhood of the critical point, the Born approximation fails for this evaluation. Even for energies well above the critical energy, the corrections to the JWKB phase-shift may be important at large angles and some approximate formulae are given for their evaluation.

Riassunto

Si sviluppa il gruppo di approssimazione usualmente noto come la « descrizione semiclassica dello scattering » in modo da poter calcolare gli ordini successivi dello sviluppo asintotico. Un’ ulteriore approssimazione permette di trattare gli effetti dei potenziali di superficie ed, in particolare, dei potenziali spin-orbita. Per evitare difficoltà non essenziali, in questo articolo si fa la derivazione per potenziali monotoni e per energie superiori alia critica. Si dimostra che lo spostamento di fase di JWKB, considerato come una funzione δ(p) dell’impulso angolare classico, può essere scritto come integrate fratto di una funzione associata al potenziale e che ad esso si riduce alle grandissime energie. Se ne deduce che la trasformata di Fourier di exp [2iδ(p)] in coseni è trascurabile oltre π per un potenziale analitico e questo suggerisce un metodo per trasformare lo sviluppo di Faxen-Holtznaark discreto in un integrale. Un difetto di questo schema si ha vicino ad una singolarità come il punto critico e dà origini ad oscillazioni che a grandi angoli possono essere il termine piú importante. Si descrivono le applicazioni dell’ analisi semiclassica allo studio delle oscillazioni di interferenza nelle curve della sezione d’ urto e della polarizzazione dello scattering neutrone-nuoleo. Nella quarta Sezione dell’ articolo si esamina la legittimità dello spostamento di fase di JWKB. Si espongono metodi accurati per valutare i termini trascurati e si dimostra che in vicinanza del punto critico, l’approssimazione di Born fallisce in questa valutazione. Anche ad energie molto superiori alla critica le correzioni allo spostamento di fase di JWKB possono essere importanti a grandi angoli e si danno alcune formule approssimate per la loro valutazione.

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References

  1. (1).
    K. W. Ford andJ. A. Wheeler:Ann. Phys.,7, 259, 287 (1959).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  2. (2).
    R. M. Eisberg andC. E. Porter:Rev. Mod. Phys.,33, 190 (1961);R. B. Bernstein: to be published inMolecular Beams (Advances in Chemical Physios Theories,L. Prigogine ed.) (1964);L. Bertocchi, S. Fubini andG. Furlan:Nuovo Ciniento,34, 599 (1965).ADSCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    Higher Transcendental Functions (Bateman Project (New York, 1953).Google Scholar
  4. (4).
    R. E. Langer:Trans. Amer. Math. Soc,34, 447 (1932).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    E. Jahnke andF. Emde:Tables of Functions (New York, 1945).Google Scholar
  6. (6).
    R. E. Langer:Phys. Rev.,51, 669 (1937).ADSCrossRefGoogle Scholar
  7. (7).
    A. Erdelyi:Journ. Math. Phys.,1, 16 (1960).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  8. (9).
    J. A. Wheeler:Phys. Rev.,99, 630 (1955).CrossRefGoogle Scholar
  9. (10).
    T. A. Eriksson andG. A. Rinander:Ark. f. Fys.,24, 1 (1962).MATHGoogle Scholar
  10. (11).
    T. Y. Wu andT. Ohmura:Quantum Theory of Scattering (Englewood Cliffs, N. J. 1962).Google Scholar
  11. (12).
    A. Erdelyi:Asymptotic Expansions (New York, 1956).Google Scholar
  12. (13).
    M. A. Efgrafov:Asymptotic Estimates and Entire Functions (New York, 1961).Google Scholar
  13. (14).
    P. E. Hodgson:The Optical Model of Elastic Scattering (Oxford, 1963).Google Scholar
  14. (15).
    K. Chadan andJ. Y. Guennéguès:Nuovo Cimento,34, 665 (1964).CrossRefGoogle Scholar
  15. (16).
    C. E. Hecht andJ. E. Mater:Phys. Rev.,106, 1156 (1957).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  16. (17).
    M. H. Hull jr. andG. Breit:Handbuch der Physik, vol. 41/1 (Berlin, 1960), p. 453.Google Scholar
  17. (18).
    M. Rosen andD. Yennie:Journ. Math. Phys.,5, 1505 (1964).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  18. (19).
    L. Bertocchi and al.: same ref. as in (2) pages 18 and ff.Google Scholar
  19. (20).
    L. Robin:Fonctions sphériques de Legendre et fonctions sphéroídales, Tome II (Paris, 1958).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1965

Authors and Affiliations

  • P. C. Sabatier
    • 1
  1. 1.Laboratoire de Physique Théorique et Hautes EnergiesFaculté des SciencesOrsay (S.-et-O.)

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