Properties of legendre expansions related to series of stieltjes and applications to π-π scattering

Summary

Legendre expansions whose coefficients are those of a series of Stieltjes are considered. It is shown that the analyticity domain of a function defined by such an expansion is the cut plane and that sequences of approximants may be defined which converge to the function in this domain, with each approximant determined from a finite number of coefficients in the expansion. These approximants are related to the Padé approximants of the corresponding series of Stieltjes. It is shown that if the coefficients satisfy a « Froissart-Gribov »-type representation with positive weight, then they are also coefficients of series of Stieltjes. It follows that the above results may be applied to the π-π scattering amplitudeA(s, t) for certain states when 0⩽s<4. In particular the approximation ofA(s, t) is the complext-plane, when only the first few partial wavesa _l(s) are known, is discussed and the interpolation of thea _l(s) for nonintegerl is also considered. Another consequence is that thea _l(s) satisfy an infinite set of determinantal inequalities when 0⩽s<4.

Riassunto

Si considerano gli sviluppi di Legendre i cui coefficienti sono quelli di una serie di Stieltjes. Si dimostra che il dominio di analiticità di una funzione definita da un tale sviluppo è il piano tagliato e che si possono definire successioni di approssimanti convergenti alla funzione in questo dominio, con ogni approssimante determinato da un numero finito di coefficienti nello sviluppo. Questi approssimanti sono collegati agli approssimanti di Padé delle corrispondenti serie di Stieltjes. Si dimostra che se i coefficienti soddisfano una rappresentazione del tipo di « Froissart-Gribov » con peso positivo, allora essi sono anche coefficienti delle serie di Stieltjes. Ne segue che si possono applicare i precedenti risultati all’ampiezza dello scattering π-πA(s, t) per alcuni stati quando 0⩽s<4. In particolare si discute l’approssimazione diA(s, t) nel pianot complesso, quando si conoscono solo le prime poche onde parzialia _l(s), e si considera anche l’interpolazione dia _l(s) perl non interi. Un’altra conseguenza è chea _l(s) soddisfa un insieme infinito di diseguaglianze di determinanti quando 0⩽s<4.

Реэуме

Рассматриваутся раэлозения Лезандра, коЭффициенты которых представляут коЭффициенты ряда Стилятяеса. Покаэывается, что областя аналитичности функции, определеннои таким раэлозением, представляет плоскостя с раэреэом, и что мозет бытя определена последователяностя аппроксимации, которая сходится к функции в Этои области, причем, каздая аппроксимация определяется конечным числом коЭффициентов раэлозения. Эти аппроксимации свяэаны с ПадЭ аппроксимациями соответствуушего ряда Стилятяеса. Покаэывается, что если коЭффициенты удовлетворяут представлениу, типа представления «Фроиссарта-Грибова», с полозителяным весом, тогда они такзе являутся коЭффициентами ряда Стилятяеса. Отсуда следует, что выщеукаэанные реэулятаты могут бытя применены к амплитуде π-π рассеяния,A(s, t), для определенных состоянии, когда 0 ⩽s<4. В частности, обсуздается приблизениеA(s, t), в комплексноиt ПЛОСКОСТИ, когда толяко первые несколяко парциаляных волнai(s) являутся иэвестными, и рассматривается интерполяцияai(s) для нецелыхl. Другое следствие эаклучается в том, чтоa _i(s) удовлетворяут бесконечнои системе детерминантных неравенств, когда 0 ⩽< 4.