Meson-decay processes and the relativistic quark model

Summary

The meson interaction in the relativistic quark model is formulated by the combined use of the graphical method of Mandelstam and the reduction formula of Nishijima and Zimmermann in the bound-state problem. The matrix element of the interaction then is expressible in terms of the Bethe-Salpeter amplitudes describing bound quarks and a functionM given by an irreducible graph. It is found that the matrix element of a certain process is determined only by the effective coupling constants of some other processes and the masses of mesons, without any knowledge of the masses of quarks and the potential, between quarks. This fact, on the one hand, predicts the same results as the so-called vectormeson dominance model does about the electromagnetic form factor of a meson and the decay processes such as π⁰→2γ, η→2γ, ω→πγ, K→πℓν etc. and, on the other, it implies the Goldberger-Treiman relation, when it is applied to the β-decay of the nucleon. A certain approximation is made for the B-S amplitudes and the functionM, which enables the calculation of the effective coupling constants, so that every matrix element may be represented by only three parameters,g _ρ,c _π andg _ρ2π. The matrix elements thus obtained reflect theSU ₃ symmetry with a small breaking. Numerical results for the decay rates of mesons are in good agreement with experiment. In addition, it is shown in the processes ω→e⁺e, π⁰→2γ and η→2γ that the nonintegral charges usually assumed for the quarks are exceedingly more favourable than the integral charges.

Riassunto

Con l’uso combinato del metodo grafico di Mandelstam e della formula di riduzione di Nishijima e Zimmermann nel problema dello stato legato, si formula l’interazione mesonica nel modello a quark relativistico. Si può allora esprimere l’elemento di matrice dell’interazione in base alle ampiezze di Bethe-Salpeter che descrivono i quark legati e di una funzioneM data da un grafico irriducibile. Si trova che l’elemento di matrice di un certo processo è determinato solo dalle costanti di accoppiamento effettive di alcuni altri processi e delle masse dei mesoni, e non richiede la conoscenza delle masse dei quark e del potenziale tra di essi. Questo fatto da una parte predice un risultato uguale a quello predetto dal cosiddetto modello di dominanza del mesone vettoriale sul fattore di forma di un mesone e sui processi di decadimento come π⁰→2γ, η→2γ, ω→πч, K→π _t ν ecc. e, dall’altro lato, esso implica la relazione di Goldberger-Treiman, quando è applicato al decadimento β del nucleone. Si fa una certa approssimazione delle ampiezze B-S e della funzioneM, che consente il calcolo delle costanti di accoppiamento effettive, in modo che ciascun elemento di matrice può essere rappresentato con solo tre parametrig _ρ,c _π eg _ρ2π. Gli elementi di matrice così ottenuti riflettono la simmetriaSU ₃ con una piccola rottura. I risultati numerici per i rapporti di decadimento dei mesoni concordano bene con gli esperimenti. Inoltre si mostra che nei processi ω→e⁺e⁻, π⁰→2γ e η→2γ le cariche non intere usualmente adottate per i quark sono di gran lunga più favorevoli delle cariche intere.

Резюме

Формулируется мезонное взаимодействие в релятивистской модели кварков, посредством совместного использования графического метода Мандельстама и рекурентной формулы Нишима и Циммермана в проблеме связанных состояний. Затем матричный элемент взаимодействия можно выразить в терминах амплитуд Бете-Салпетера, описывающих связанные кварки, и функцииM, которая определяется неприводимым графиком. Найдено, что матричный элемент определенного процесса ппределяется только эффективными константами связи некоторых других процессов и массами мезонов, без знания масс кварков и потенциалов взаимодействия между ними. Этот факт, с одной стороны, предсказывает те же результаты, которые так называемая модель преобладания вектпрмпго мезона дает для электромагнитного форм-фактора мезона и процессов распада, таких как π⁰→2γ, х→2γ, ω→πγ, K → π _t ν и т.д., и, с другой стороны, заключает в себе соотношение Гольдбергера-Треймана, когда оно применяется к β-распаду нуклона. Делается некоторое приближение для B-S амплитуд и функцииM, которые позволяют вычислить эффективные константы связи, так что матричный элемент может быть представлен с помощью только трех параметровg _р,c _π иg _р2π. Полученные таким образом матричные элементы отражаютSU ₃ симметрию с небольшим нарушением. Численные результаты для скоростей распадов мезонов находятся в хорошем согласии с экспериментом. Кроме того, показывается, что в продессах ω→e⁺e⁻, π⁰→2γ и η→2γ обычно предполагаемые для кваеков дробные заряды являются более подходящими, чем целые заряды.