Classical and quantum restrictions on geodesic motion near a Schwarzschild black hole

Summary

Classical and quantum restrictions are derived for a test particle falling in the gravitational field of a Schwarzschild black hole. It is noted that in general relativity the gravitational mass of the particle increases (in contrast with Newtonian theory) and hence the condition that the test body exerts negligible influence on the central body becomes invalid for sufficiently small distances from the Schwarzschild radius. The effects of complementarity, and the uncertainty principle are also discussed. This analysis also leads to an extremely small quantum distance below which the Schwarzschild geodesic motion is expected to break down. Both the classical and quantum restrictions are smaller than the Planck length for an in-falling electron.

Riassunto

Si derivano le restrizioni classiche e quantistiche per una particella di prova che cade nel campo gravitazionale di un buco nero di Schwarzschild. Si nota che nella relatività generale la massa gravitazionale della particella aumenta (in contrasto con la, teoria newtoniana) e quindi la condizione che il, corpo di prova eserciti un'influenza trascurabile sul corpo centrale perde valore per distanze, sufficientemente piccole dal raggio di Schwarzschild. Si discutono anche gli effetti di complementarità e del principio d'indeterminzione. Questa analisi porta anche ad una distanza quantica estremamente piccola sotto la quale ci si aspetta che il moto geodesico di Schwarzschild venga meno. Sia le restrizioni classiche che quelle quantiche sono più piccole della lunghezza di Planck per un elettrone in caduta.

Резюме

Выводятся классическое и квантовое ограничения для пробной частицы, движущейся в гравитационном поле черной дыры Шварцшильда. Отмечается, что в общей теории относительности гравигационная масса частицы увеличивается (в противоположность нрютоновской теории) и, следовательно, условие, что пробная частица оказывает пренебрежимо малое влияние на центральное тело становится недействительным для достаточно малых расстояний от радиуса Шварцшильда. Также обсужднются эффекты дополнительности и принцип неопределенности. Этот анализ приводит к чрезвычайно малому квантовому расстоянию, инже которого можно ожидатя, что геодезическое движение Шварцшильда нарушается. Классическое и квантовое ограничения оказываются меньше, чем длина Планка для электрона. В Приложении А проверяются и интерпретируются классичесие результаты в координатах Крускала. В Приложении В с помощью внутреннего решения Шварцшильда разрешается проблема ускорения статического наблюдателя. В Приложении С проводится обсиждение предыдущей работы на ту же тему.