Chemical potentials by direct summation of Fermi-Dirac functions

Summary

A method of evaluating Fermi levels from Fermi-Dirac functions is developed founded upon the central aspect of suitably bifurcating the requisite sums around turning points associated with a change in sign of the exponentials. This technique allows identification of the principal contributions of the summations in the neighborhood where the F-D function changes most rapidly. By this means the Fermi energy can be computed in one, two and three dimensions and, in principle, the calculation may be carried out to any desired accuracy. Comparison with the values deduced by Sommerfeld’s classic approach requires elaboration to lowest order where, in fact, the replacement of sums by integrals becomes valid. The latter cannot be instituted with impunity in general as it implies a sufficiently high electron density to warrant representation by a continuum. Anisotropic modification of the chemical potential is also dealt with to allow for possible mass tensor effects.

Riassunto

Si sviluppa un metodo per valutare i livelli di Fermi partendo dalle funzioni di Fermi-Dirac basato sull’aspetto centrale delle opportune biforcazioni delle somme richieste attorno a punti di svolta associati ad un cambiamento del segno degli esponenziali. Questa tecnica permette l’identificazione dei principali contributi delle sommatorie nelle vicinanze dei punti in cui la funzione di F-D cambia più rapidamente. Con questi mezzi si può calcolare 1’energia di Fermi in uno, due o tre dimensioni e, in linea di principio, il calcolo può essere effettuato con ogni precisione desiderata. II confronto con i valori dedotti dall’approssimazione classica di Sommerfeld richiede l’elaborazione nel più basso ordine, dove, in effetti la sostituzione delle somme con integrali diventa valida. Questo non può essere effettuato impunemente, in generale, in quanto implica una densità elettronica sufficientemente alta da assicurare la rappresentazione con un continuo. Si tratta anche la modiflca anisotropa del potenziale chmico per tener conto di possibili effetti del tensore di massa.