Matrix transformation relation for the radial integrals of lepton scattering processes

Summary

The radial integrals of many physical problems involving products of initial- and final-state wave functions and the Coulomb interaction are expressible in terms of special cases of generalized hypergeometric functions. In the present work, the generalized hypergeometric functions become elements of a gamma vector which, by means of a partial differential equation and a matrix transformation relation, can be used in calculating the gamma vector in physical regions where the hypergeometric functions are nonconvergent or very slowly converging. Our matrix transformation relation contains the special cases of Gauss– hypergeometric functions₂ F ₁, Appell–s hypergeometric functionsF ₂, and Lauricella–s functions L_F transformation relations. The use of contiguous relations along with the transformation relations presented in this paper will facilitate the calculation of physical processes involving such radial integrals.

Riassunto

Gli integrali radiali di molti problemi fisici che coinvolgono prodotti di funzioni d–onda di stato iniziale e finale e l–interazione di Coulomb sono esprimibili in termini di casi speciali di funzioni ipergeometriche generalizzate. Nel présente lavoro le funzioni ipergeometriche generalizzate diventano elementi di un vettore gamma che, per mezzo di un–equazione differenziale parziale e di una relazione di trasformazione di matrici, può essere usato per calcolare il vettore gamma in regioni fisiche in cui le funzioni ipergeometriche sono non convergenti o molto lentamente convergenti. La nostra relazione di trasformazione di matrice contiene i casi speciali delle relazioni di trasformazione delle funzioni ipergeometriche di Gauss₂ F ₁ delle funzioni ipergeometriche di AppellF ₂ e delle funzioni di Lauricella L_F. L–uso di relazioni contigue cosiccome le relazioni di trasformazione presentate in questo lavoro faciliteranno il calcolo di processi fisici che implicano tali integrali radiali.

Резюме

Радиальные интегралы для больмого числа физических проблем, включающие произведения волновых функций начального и конечного состояний и кулоновские взаимодействия, выражаются в терминах обобщенных гипергеометрически х функций. В этой работе обобщенные гипергеометрически е функции представляются в виде элементов гамма-вектора, которые с помощью дифференциального уравнения в частных производных и связи межлу преобразованиями матриц могут быть использованы при вычислении гамма-вектора в физических областях, где гипергеометрически е функции не являются сходящимися или сходятся очень медленно. Предложенная связь между преобразованиями матриц содержит специальные случаи гауссовых гипергеометрически х функций₂F₁, гипергеометрически х функций Аппеля F₂ и преобразование функций Лауричела L_F. Использование смежных соотношений облегчает вычисление физических процессов, включающих такие радиальные интегралы.