Thermodynamics and molecular freedom of dimers on plane honeycomb and Kagomé lattices

Summary

In earlier studies we investigated the problem of nonoverlapping dimers covering square and triangular lattices. We were able to show that the solution of dimers distributed on a one-dimensional lattice, and the solution of dimers closely packed on the two-dimensional square and triangular lattices of infinite extent in one direction and finite width, can be combined to give approximate analytic solutions for the problem of dimers loosely packed on the two-dimensional lattices considered. In this paper, we extend our study to two other kinds of two-dimensional lattices: hexagonal and Kagomé. A crucial step in our investigation is the technique of generating hexagonal and Kagome lattices of infinite extent in one direction and finite width. We start with a triangular lattice obtained from a square lattice bent by 30°. By appropriately removing certain lattice sites, one is able to generate hexagonal or Kagomé lattices. The boundaries of the hexagonal and Kagomé lattices generated in this manner produce a noticeable effect on the solution of the problem. Naturally, this edge effect is expected to become smaller as the widthM of the lattice increases. 1) We calculate exactly the entropy, isothermal compressibility, and constant-pressure heat capacity as a function of the absolute activity,x, of dimers, for hexagonal and Kagome lattices withM<7. 2) ForM<7, we calculate exactly the molecular freedom per dimer at close packing, φ(M). 3) We obtain approximate analytic expressions of the thermodynamic functions similar to the ones obtained for square and triangular lattices. 4) Comparison is made between the exact and approximate results: the approximation is good even for small values ofM; oscillations about the exact results are observed to decrease with increasing values ofM.

•Riassunto

In studi precedenti si è investigato il problema di dimeri non sovrapposti che coprono reticoli quadrati e triangolari. Si può mostrare che la soluzione di dimeri distribuiti su un reticolo unidimensionale e la soluzione di dimeri strettamente raggruppati sui reticoli bidimensionali quadrati e triangolari di infinita estensione in una direzione e di larghezza finita possono essere combinate per dare soluzioni analitiche approssimate per il problema di dimeri raggruppati in maniera lassa sui due reticoli bidimensionali considerati. In questo lavoro si estende lo studio a due altri tipi di reticoli bidimensionali: esagonali e di Kagomé. Un passo di cruciale importanza è la tecnica di produzione di reticoli esagonali e di Kagomé di estensione infinita in una direzione e di ampiezza finita. Si comincia con un reticolo triangolare ottenuto da un reticolo quadrato inclinato di 30°. Rimuovendo appropriatamente certe posizioni dei reticoli, si è in grado di generare reticoli esagonali e di Kagomé. I confini dei reticoli esagonali e di Kagomé generati in questo modo producono un evidente effetto sulla soluzione del problema. Naturalmente si prevede che questo effetto di bordo diventi più ridotto mano a mano che l’ampiezzaM del reticolo aumenta. 1) Si calcola esattamente I’entropia, la compressibility isotermica e la capacità termica a pressione costante in funzione dell’attività assolutax dei dimeri per reticoli esagonali e di Kagomé conM < 7. 2) PerM < 7 si calcola esattamente la libertà molecolare per dimero a stretto raggruppamentoφ(M). 3) Si ottengono espressioni analitiche approssimate delle funzioni termodinamiche simili a quelle ottenute per reticoli quadrati e triangolari. 4) Si confrontano i risultati esatti con quelli approssimati: Fapprossimazione è buona anche con valori ridotti diM; si osserva che le oscillazioni sui risultati esatti diminuiscono al crescere dei valori diM.

Резюме

В предыдущих работах мы исследовали проблему неперекрыв ающихся димеров, образующих к вадратичные и треуго льные решетки. Мы можем пока зать, что решение для димер ов, распределенных на одномерной решетке, и решение для димеров, плотно упако ванных на двумерных квадратичных и треуг ольных решетках бесконечных размеро в в одном направлении и конечной ширины, могут быть объединены с целью по лучения приближенны х аналитических решен ий для проблемы димеров, плотно упако ванных на рассматрив аемых двумерных решетках. В этой статье мы обобщаем на ше исследование на сл учай двух других типов двумерн ых решеток: гексагональ ной и Kагоме. Решающий ш аг в нашем исследовании заключается в техник е образования гексаг ональной решетки и решетки Kаго ме бесконечных размеро в в одном направлении и конечной ширины. Мы исходим из треугольной решетки, полученной изгибом н а 30° квадратичной решетк и. Затей удаляя некоторые узл ы решетки, мы можем пол учить гексагональную реше тку и решетку Кагоме. Грани цы полученных решето к (гексагональной и Каг оме) оказывают значитель ное влияние на решени е проблемы. Естественно, что этот краевой эффект стано вится малым, когда шир ина, М, реметки увеличивает ся. 1) Мы точно вычисляем энтр опию, изотермическую сжимаемость и теплоемкость при постоянном давлении, как функции абсолютн ой активности, х, димера д ля гексагональной и Каг оме решеток с М<7. 2) Для М<7 мы точно вычисляем молекулярную свобод у для димера в состоян ии плотной упаковки, Ф(М). 3) Мы получаем приближенн ые аналитические выр ажения для термодинамических функций, подобные выр ажениям, полученным д ля квадратичных и треуг ольных решеток. 4) Проведено ср авнение между точным и и приближенными резул ьтатами: приближение являетс я довольно хорошим да же для малых значений М; отмечаетс я, что осцилляции относ ительно точных резул ьтатов уменьшаются с увелич ением величины М.