Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 52, Issue 1, pp 50–61 | Cite as

The causality group

  • G. Barucchi
  • G. Teppati
Article

Summary

The causality groupCn+1,n≥1, introduced by Zeeman, is examined. The groupC2 is studied first. By means of elementary geometrical arguments, which make evident the difference between the casesn=1 andn>1, it is then proved that the elements ofCn+1,n>1, are linear. In particular the Zeeman theorem is proved again in a new simpler way. By introducing particular co-ordinate axes it is shown that any element of the groupCn+1,n>1, is the composition of an element of the groupC n+1 * and an element of the groupC′n+1.C n+1 * is the subgroup of (D↑) n+1 ((D↑) n+1 being the group any element of which is the composition of an element of the orthochronous Poincaré group, (P↑) n+1 , and an element of the group of the positive dilatations,R + x ,i.e. the multiplicative group of positive real numbers) the elements of which do not change the value of the time co-ordinatex0A of any pointA.C n+1 is the subgroup of (D↑) n+1 , which has no common element withC n+1 * except for the identity permutation. It is shown thatC′n+1 is the direct product ofn+1 of its particular subgroups.

Keywords

Direct Product Positive Real Number Light Cone Proper Subgroup Identity Permutation 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Причинная группа

Резюме

Исследуется причинная группаCn+1,n≥1. введенная Зиманом. Сначала изучается группаC2. С помощью элементарных геометрических аргументов, которые делают очевидным различие между случаемn=1 иn>1, затем доказывается, гто элементыCn+1,n<1, являются линейными. В частности, заново, более простым новым способом доказывается теорема зимана. Вводя специальные координатные оси показывается, что любой элемент группыCn+1,n>1, является суперпозицией элентов группыC n+1 * и элемента группыCn+1,C n+1 * еств подгруппа (D↑)n+1 (причем, (D↑)n+1 представляет группу, любой элемент которой представляет суперпозицию элемента ортохронной группы Пуанкаре, (P↑)n+1, и элемента группы для положительных расширенийR + x , т.е. мультипликативная группа положительных вещественных чисел), элементы которой не изменяют величины координаты-времениx0A для любой точкиA.C′n+1 представляет подгруппу (D↑)n+1, которая не имеет общего элемента сC n+1 k , предполагая тождественную перестановку. Показывается, гтоC′n+1 прелставляет прямое произведениеn+1 их специальных подгрупп.

Riassunto

Si prende in considerazione il gruppo causaleCn+1,n≥1, introdotto da Zeeman. Viene dapprima studiato il gruppoC2. Si dimostra in seguito, facendo uso di argomenti di geometria elementare che rendono evidente la differenza tra i casin=1 en>1, che gli elementi diCn+1,n>1, sono lineari. In particolare è data una nuova più semplice dimostrazione del teorema di Zeeman. Introducendo particolari assi coordinati si dimostra che ciascun elemento del gruppoCn+1,n>1, è dato dalla composizione di un elemento del gruppoC n+1 * con un elemento del gruppoC′n+1.C n+1 * è il sottogruppo di (D↑)n+1 ((D↑)n+1 è il gruppo il cui generico elemento è dato dalla composizione di un elemento del gruppo ortocrono di Poincaré, (P↑)n+1, con un elemento del gruppo delle dilatazioni positive,R + x , cioè il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi) i cui elementi non cambiano il valore della coordinata temporalex0A di un puntoA qualunque.C′n+1 è il sottogruppo di (D↑)n+1 non avente alcun elemento in comune conC n+1 * , ad eccezione delle permutazione identica. Si fa vedere cheC′n+1 è il prodotto diretto din+1 dei suoi particolari sottogruppi.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    E. C. Zeeman:Journ. Math. Phys.,5, 490 (1964).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    A. Gamba andG. Luzzatto:Nuovo Cimento,33, 1732 (1964).CrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    L. Michel:Ecole d’eté de Physique Théorique de Cargèse (1965).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • G. Barucchi
    • 1
  • G. Teppati
    • 2
    • 3
    • 4
  1. 1.Istituto di Fisica dell’UniversitàTorinoItalia
  2. 2.Istituto di Fisica dell’UniversitàPalermoItalia
  3. 3.Sezione Siciliana dell’Istituto Nazionale di Fisica NucleareGruppo di PalermoPalermoItalia
  4. 4.Istituto di Fisica dell’UniversitàTorinoItalia

Personalised recommendations