The causality group

Summary

The causality groupC _n+1,n≥1, introduced by Zeeman, is examined. The groupC ₂ is studied first. By means of elementary geometrical arguments, which make evident the difference between the casesn=1 andn>1, it is then proved that the elements ofC _n+1,n>1, are linear. In particular the Zeeman theorem is proved again in a new simpler way. By introducing particular co-ordinate axes it is shown that any element of the groupC _n+1,n>1, is the composition of an element of the groupC ^*_n+1 and an element of the groupC′ _n+1.C ^*_n+1 is the subgroup of (D↑) _n+1 ((D↑) _n+1 being the group any element of which is the composition of an element of the orthochronous Poincaré group, (P↑) _n+1 , and an element of the group of the positive dilatations,R ^x₊ ,i.e. the multiplicative group of positive real numbers) the elements of which do not change the value of the time co-ordinatex _0A of any pointA.C′ _n+1 is the subgroup of (D↑) _n+1 , which has no common element withC ^*_n+1 except for the identity permutation. It is shown thatC′ _n+1 is the direct product ofn+1 of its particular subgroups.

Riassunto

Si prende in considerazione il gruppo causaleC _n+1,n≥1, introdotto da Zeeman. Viene dapprima studiato il gruppoC ₂. Si dimostra in seguito, facendo uso di argomenti di geometria elementare che rendono evidente la differenza tra i casin=1 en>1, che gli elementi diC _n+1,n>1, sono lineari. In particolare è data una nuova più semplice dimostrazione del teorema di Zeeman. Introducendo particolari assi coordinati si dimostra che ciascun elemento del gruppoC _n+1,n>1, è dato dalla composizione di un elemento del gruppoC ^*_n+1 con un elemento del gruppoC′ _n+1.C ^*_n+1 è il sottogruppo di (D↑) _n+1 ((D↑) _n+1 è il gruppo il cui generico elemento è dato dalla composizione di un elemento del gruppo ortocrono di Poincaré, (P↑) _n+1, con un elemento del gruppo delle dilatazioni positive,R ^x₊ , cioè il gruppo moltiplicativo dei numeri reali positivi) i cui elementi non cambiano il valore della coordinata temporalex _0A di un puntoA qualunque.C′ _n+1 è il sottogruppo di (D↑) _n+1 non avente alcun elemento in comune conC ^*_n+1 , ad eccezione delle permutazione identica. Si fa vedere cheC′ _n+1 è il prodotto diretto din+1 dei suoi particolari sottogruppi.

Резюме

Исследуется причинная группаC _n+1,n≥1. введенная Зиманом. Сначала изучается группаC ₂. С помощью элементарных геометрических аргументов, которые делают очевидным различие между случаемn=1 иn>1, затем доказывается, гто элементыC _n+1,n<1, являются линейными. В частности, заново, более простым новым способом доказывается теорема зимана. Вводя специальные координатные оси показывается, что любой элемент группыC _n+1,n>1, является суперпозицией элентов группыC ^*_n+1 и элемента группыC′_n+1,C ^*_n+1 еств подгруппа (D↑) _n+1 (причем, (D↑) _n+1 представляет группу, любой элемент которой представляет суперпозицию элемента ортохронной группы Пуанкаре, (P↑) _n+1, и элемента группы для положительных расширенийR ^x₊ , т.е. мультипликативная группа положительных вещественных чисел), элементы которой не изменяют величины координаты-времениx _0A для любой точкиA.C′ _n+1 представляет подгруппу (D↑) _n+1, которая не имеет общего элемента сC ^k_n+1 , предполагая тождественную перестановку. Показывается, гтоC′ _n+1 прелставляет прямое произведениеn+1 их специальных подгрупп.