Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 46, Issue 1, pp 47–58 | Cite as

Approximate determination of the number and energies of the bound states of a physical system

  • L. Fonda
  • G. C. Ghirardi
Article

Summary

It is proved that for a given self-adjoint operatorH, the following formula holds:n(E)≤Tr[1+(A/2)(EH+(EH)(A/2)]2, whereA is an arbitrary self-adjoint positive semidefinite operator for which the considered trace exists andn(E) is the number of eigenvalues ofH lying belowE. Introducing parameters inA, one can follow a variational technique in order to get a best upper bound ton(E) and a best lower bound for each eigenvalue ofH. By this variational technique one can, at least in principle, approach indefinitely the number and positions of the eigenvalues ofH. WhenH can be split into two parts for one of which the eigenvalue problem is completely solved, one can find explicit operatorsA for which the considered trace obtains a simple form. This method works also whenH has a purely discrete spectrum. An illustrative example for this case is given.

Keywords

Discrete Spectrum Positive Semidefinite Eigenvalue Equation Stark Effect Plane Rotator 
These keywords were added by machine and not by the authors. This process is experimental and the keywords may be updated as the learning algorithm improves.

Приближенное определение числа и энергий свьзанных состоьний физических систем.

Резюме

Доказываетсы, что для данного самосопряженного оператораH, имеет место следующая формулаn(E)≤Tr[1+(A/2)(EH)+(EH)(A/2)]2, гдеА есть произвольный самосопряженный положительный полуопределенный оператор, для которого рассматриваемый шпур существует иn(E) число собственных значенийH, лежащих нижеE. Вводя параметры вA, можно использовать вариационную технику, чтобы получить наилучшую верхнюю границу дльn(E) и наилучшую низшую границу для собственного значенияH. ьлагодарж этой вариационной технике можно, по крайней мере, в принципе, найти бесконечно близкое приближение дль числа и положений собственных значенийH. КогдаH может быть разделен на две части. для одной из которых проблема собственного значения полностью решается, и в этом случае можно найти точные оператрыA, для которых рассматриваемый шпур имеет простую форму. этот метод работает также, когдаH имеет дискретный сиектр. Приводится иллюстративный пример в этом случае.

Riassunto

Si mostra che per un operatore auto-aggiuntoH, vale la seguente formula:n(E)≤Tr[1+(A/2)(EH)+(EH)(A/2)]2, essendoA un arbitrario operatore autoaggiunto positivo semidefinito per cui esiste la traccia indicata en(E) il numero di autovalori diH che cadono sottoE. Introducendo parametri inA, si può utilizzare un metodo variazionale per ottenere il migliore limite superiore an(E) e il migliore limite inferiore agli autovalori diH nell'ambito della classe di operatoriA considerata. Questo metodo variazionale permette, in linea di principio di avvicinarsi quanto si vuole al numero e le posizioni esatte degli autovalori diH. SeH è spezzabile nella somma di due operatori, per uno dei quali il problema agli autovalori è completamente risolto, si possono ottenere esplicite espressioni diA per cui la traccia indicata assume una forma semplice. Questo metodo è applicabile anche al caso in cuiH possiede uno spettro puramente discreto. Si considera un esempio concreto a scopo illustrativo.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    V. Bargmann:Proc. Natl. Acad. Sci. U. S.,38, 961 (1952).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    J. Schwinger:Proc. Natl. Acad. Sci. U. S.,47, 122 (1961).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  3. (3).
    S. Weinberg:Phys. Rev.,131, 440 (1963).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    G. C. Ghirardi andA. Rimini:Journ. Math. Phys.,6, 40 (1965).ADSMathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    G. C. Ghirardi andA. Rimini:Nuovo Cimento,37, 450 (1965).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1966

Authors and Affiliations

  • L. Fonda
    • 1
  • G. C. Ghirardi
    • 1
  1. 1.Istituto di Fisica Teorica dell’UniversitàTriesteItaly

Personalised recommendations