Advertisement

Il Nuovo Cimento A (1971-1996)

, Volume 47, Issue 3, pp 510–525 | Cite as

On a class of completely transparent nonlocal two-body potentials

  • K. Chadan
Article

Summary

We show here the existence of a large class of nonlocal two-body potentials which are completely transparent at all energies. These potentials are of the general form given by (3.10),i.e. they are super-positions of a local central potential and a sum of separable potentials. Starting from an arbitrary local potential, we show how to choose the nonlocal separable parts in such a way that the effects of the local potential are cancelled out at all energies and for all angular momenta. The total Hamiltonian therefore becomes equivalent to the free Hamiltonian as long as theS-matrix on the energy shell is concerned. At finite distances, the wave-function is of course different from the free wavefunction, but the difference goes to zero in the limit of large distances. It is perhaps worth mentioning that the transparent potentials we obtain are not pathologica; they have acceptable singularities at the origin and vanish fast at infinity. In the example we study in Sect.4, we have indeed potentials which are less singular thanr−1 at the origin, and decrease exponentially whenr→∞.

О классе полностью прозрачных нелокальных двухчастичных потенциалов

Резюме

Мы показываем здесь существование большого класса нелокальных двухчастичных потенциалов, которые являюотся полностью прозрачными для любых энергии. Эти потенциалы в общей форме представлены в (3.10), т.е. они являются суперпозицией локальных цетральных потенциалов и суммирование ведется по отдельным потенциам. Начиная с произвольного локального потенциала, мы показываем, как выбрать нелокльные отделимые части, таким образом, чтобы эффекты локального потенциала исчезали при пюбых энергиях и угловых моментах. Следовательно, полный Гамильтониан становится эквивалентным свободному Гамильтониану, нока рассматриваетсяS-матрица на массови поверхности. На конечных расстояниях, волновая функция, конечно, отличается от свободной волновой функции, но различие стремится к нулю в пределе больших расстояний. Возможно следует отметить, что прзрачные потенциалы, которые мы получаем, не являются пато-логическими. они имеют пмеут приемлемые сингулярности в начале координат и довольно быстро исчезают на бесконечности. В примере, который мы рассматриваем в параграфе4, мы, в действительности, имеем потенциалы, которые имеют сингулярность менееr−1 в начале координат, и исчезают экспоненциально приr→∞.

Riassunto

Si dimostra che esiste un'ampia classe di potenziali non locali di due corpi che sono completamente trasparenti a tutte le energie. Questi potenziali sono della forma generale data da (3.10), cioè essi sono sovrapposizioni di un potenziale centrale locale e di una somma di potenziali separabili. Partendo da un potenziale locale arbitrario, si mostra come scegliere le parti separabili non locali in modo che gli effetti del potenziale locale si annullano fra loro a tutte le energie e a tutti i momenti angolari. L'hamiltoniano totale quindi diviene equivalente all'hamiltoniano libero per quanto concerne la matriceS sullo strato dell'energia. A distanze finite la funzione d'onda è, naturalmente, differente dalla funzione d'onda libera, ma la differenza tende a zero al limite delle grandi distanze; è opportuno forse notare che i potenziali trasparenti che otteniamo non sono patologici; essi hanno all'origine singolarità accettabili e si annullano rapidamente all'infinito. Nell'esempio studiato in Sez.4, abbiamo appunto potenziali che sono meno singolari dir−1 all'origine e decrescono esponenzialmente quandor→∞.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    C. Lovelace:Phys. Rev.,135, B 1225 (1964). This paper contains a complete list of calculations which have been performed using separable potentials. For more recent calculations, see the current literature.MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  2. (2).
    C. Lovelace: inStrong Interactions and High-Energy Physics, edited byR. G. Moorhouse (London, 1962);J. Y. Guennéguès:Nuovo Cimento,42 A, 549 (1966);H. P. Noyes:Phys. Rev. Lett.,15, 538 (1965).Google Scholar
  3. (3).
    M. Gourdin andA. Martin:nuovo Cimento,6, 757 (1957);8, 699 (1958).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    K. Chadan:Nuovo Cimento,10, 892 (1958).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    R. G. Newton:Journ. Math. Phys.,1, 319 (1960). We shall use the notations of this paper throughout.CrossRefADSGoogle Scholar
  6. (6).
    See ref. (5), especially part 7.CrossRefADSGoogle Scholar
  7. (7).
    N. Levinson:Dan. Mat. Fys. Medd.,25, 9 (1949).MathSciNetGoogle Scholar
  8. (8).
    A. Martin:Nuovo Cimento,7, 607 (1958).CrossRefGoogle Scholar
  9. (9).
    V. Bargmann:Rev. Mod. Phys.,21, 488 (1949);R. Jost andW. Kohn:Phys. Rev.,87, 977 (1952).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  10. (10).
    Reference (5), formulae (4.16′) and (4.9) respectively.CrossRefADSGoogle Scholar
  11. (11).
    V. Bargmann:Proc. Natl. Acad. Sci. U.S.,38, 961 (1952).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  12. (12).
    Reference (5), formula (3.13).CrossRefADSGoogle Scholar
  13. (13).
    Reference (5), formula (3.17).CrossRefADSGoogle Scholar
  14. (14).
    E. C. Titchmarsh:Introduction to the Theory of Fourier Integrals, 2nd edition, (Oxford, 1948).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1967

Authors and Affiliations

  • K. Chadan
    • 1
  1. 1.Laboratoire de Physique Théorique et Hautes EnergiesOrsay

Personalised recommendations