On the relation between chiralSU ₃ ×SU ₃ current algebra andSU ₆

Summary

The general structure of the covariant sum rules derived on the basis of chiralSU ₃ ×SU ₃ algebra is investigated in the case in which they are saturated by a finite number of intermediate states. We discuss first the consistency of the saturation with states belonging to anSU ₆ supermultiplet. We find that consistency is ensured and that theSU ₆ results for the renormalization ratios are obtained if mass differences betweenSU ₃ multiplets are neglected. This is due to the fact that for equal masses and parities the matrix elements of the divergences of the axial currents are proportional to the matrix elements of the helicity. We then discuss the situation in which an arbitrary but limited set of states saturates all the matrix elements of the chiralSU ₃ ×SU ₃ algebra taken among them. It is shown that the matrix elements of the chiral algebra coincide with the matrix elements of a collinearSU ₃ ×SU ₃ algebra, so that the states that saturate the chiral algebra are a representation of the collinear one, on the basis of which the coupling constants can be calculated. The collinear group is not the same as the one generally considered as a subgroup of the staticSU ₆. It coincides with it only in the case of equal parities and masses of all the members of an irreducible representation.

Riassunto

Si studia la struttura generale delle regole di somma covarianti derivate dall'algebraSU ₃ ×SU ₃ chirale, nel caso di saturazione da parte di un numero finito di stati intermedi. Dapprima si discute la consistenza della saturazione con stati appartenenti ad un supermultipletto diSU ₆. Si trovano la consistenza e i risultati diSU ₆ per i rapporti di rinormalizzazione se si trascurano differenze di massa tra multipletti diSU ₃. Ciò è dovuto al fatto che, per uguali masse e parità, gli elementi di matrice della divergenza delle correnti assiali sono proporzionali agli elementi di matrice dell'elicità. Si discute quindi il caso di saturazione da parte di un gruppo di stati arbitrario, ma limitato, di tutti gli elementi di matrice dell'algebraSU ₃ ×SU ₃ chirale presi fra essi. Si mostra che gli elementi di matrice dell'algebra chira coincidono con quelli di un'algebraSU ₃ ×SU ₃ collineare, cosicché gli stati che saturano l'algebra chirale sono una rappresentazione di quella collineare, in base alla quale si possono calcolare le costanti d'accoppiamento. Il gruppo collineare non è quello che viene generalmente preso in considerazione come sottogruppo del gruppoSU ₆ statico. Coincide con esso solo nel caso di uguali masse e parità di tutti i membri di una rappresentazione irriducibile.