Advertisement

Il Nuovo Cimento B (1971-1996)

, Volume 25, Issue 1, pp 479–494 | Cite as

Time-dependent speed distributions of electrons in a field in a gas. Notes on the preservation of the «delta» form

  • G. L. Braglia
Article

Summary

When studying unsteady-state processes relevant to electrons in a field in a gas, it is often assumed, incorrectly, that an initial delta distribution preserves its form during the relaxation process. In this paper the exact conditions for the preservation of the delta form are given. Moreover, it is shown that the temporal behaviour of any given moment of the true electron speed distributionP(v, t) may also be exactly described by replacingP(v, t) with an appropriate delta-function if the moment relaxes according to a simple exponential law. In the case of electrons in a gas in a field this happens for the second moment ofP(v, t) only if the electron collision frequency isv-independent. The true distributionP(v, t) maintains its (initial) delta form during the relaxation process if and only if the electrons move in a cold gas in the absence of fields of force. The equations commonly used in practice for the calculation of the «stationarization» time are discussed in the light of our results.

Зависящие от времени распределения скоростей электронов в поле в газе. Замечания о сохранении «дельта»-формы

Резюме

При исследовании нестационарных процессов, относящихся к электронам в газе в поле, часто некорректно предполагается, что начальное дельтараспределение сохраняет свою форму в процессе релаксации. В этой работе приводятся точные условия для сохранения дельта-формы. Кроме того, показывается, что временное поведение любого заданного момента истинного распределения скоростей электроновP(v, t) может быть также точно описано с помощью заменыP(v, t) соответствующей дельта-функцией, если указанный момент релаксирует в соответствии с простым экспоненциальным законом. В случае электронов в газе в поле указанное обстоятельство имеет место только для второго моментаP(v, t) и только, если частота соударений электронов не зависит отv. Истинное распределениеP(v, t) сохраняет свою (начальную) дельта-форму в процессе релаксации, если и только если электроны движутся в холодном газе в отсутствии полей сил. В свете полученных нами результатов обсуждаются обычно используемые уравнения для вычисления времени «стационаризации».

Riassunto

Non di rado, nello studio del comportamento temporale di grandezze associate al moto di elettroni in un gas in un campo di forza, si suppone, incorrettamente, che una distribuzione energetica iniziale «delta» mantenga la sua forma durante il processo di rilassamento. In questo lavoro si indicano le esatte condizioni per il mantenimento della forma delta. Si mostra anche che l’dandamento temporale di un qualunque momento della distribuzioneP(v, t) dei moduli delle velocità può essere esattamente descritto rimpiazzandoP(v, t) con un’opportuna distribuzione delta se il momento rilassa con legge esponenziale semplice. Per elettroni in moto in un gas in un campo di forze statico questo accade, per esempio, per il secondo momento diP(v, t) se la frequenza di collisione elettrone-atomo è indipendente dav. Per quanto concerneP(v, t), si mostra che una distribuzione, di forma iniziale delta, mantiene la propria forma durante il processo di rilassamento se e solo se gli elettroni si muovono in un gas freddo in assenza di campi di forze esterni. Alla luce dei risultati ottenuti, si discutono le equazioni comunemente usate in pratica per il calcolo dei tempi di «stazionarizzazione».

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    H. L. Andersen, I. Oppenheim, K. E. Shuler andG. H. Weiss:Journ. Math. Phys.,5, 522 (1964) and references quoted therein.MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  2. (2).
    G. L. Braglia andL. Ferrari:Nuovo Cimento,7 B, 119 (1972);Physica,67, 249, 274 (1973).Google Scholar
  3. (3).
    G. L. Braglia andL. Ferrari:Nuovo Cimento,67 B, 167 (1970);2 B, 254 (1971).ADSCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    G. L. Braglia andL. Ferrari:Nuovo Cimento,4 B, 245, 262 (1971).ADSCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    G. L. Braglia:Nuovo Cimento,70 B, 169 (1970). See alsoNuovo Cimento,8 B, 478 (1972).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    G. L. Braglia andL. Ferrari:Lett. Nuovo Cimento,4, 537 (1972);Physica,71, 243 (1974).CrossRefGoogle Scholar
  7. (7).
    C. F. Eaton andL. H. Holway:Phys. Rev.,143, 48 (1966).ADSCrossRefGoogle Scholar
  8. (8).
    ref. (5,6),G. L. Braglia andL. Ferrari:Lett. Nuovo Cimento,4, 537 (1972)). ref. (7)C. F. Eaton andL. H. Holway:Phys. Rev.,143, 48 (1966)).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  9. (9).
    H. Oser, K. E. Shuler andG. H. Weiss:Journ. Chem. Phys.,41, 2661 (1964).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    L. B. Loeb:Basic Processes of Gaseous Electronics (Berkeley, Cal., 1961), p. 510.Google Scholar
  11. (11).
    J. L. Pack andA. V. Phelps:Phys. Rev.,121, 798 (1961);E. W. McDaniel:Collision Phenomena in Ionized Gases (New York, N. Y., 1964), p. 556.ADSCrossRefGoogle Scholar
  12. (12).
    G. L. Braglia, G. M. de' Munari andG. Mambriani: RT/FI(65)61 (Roma, 1965).Google Scholar
  13. (13).
    G. Cavalleri:Phys. Rev.,179, 186 (1969).ADSCrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    V. A. Davidenko, B. A. Dolgoshein, S. V. Somov andV. N. Starosel'tsev:Sov. Phys. JETP,30, 49 (1970).ADSMATHGoogle Scholar
  15. (15).
    W. P. Allis:Handbuch der Physik, Vol.21 (Berlin, 1956), p. 392.ADSGoogle Scholar
  16. (16).
    G. L. Braglia: to be published.Google Scholar
  17. (17).
    I. Oppenheim, K. E. Shuler andG. H. Weiss:Advan. Mol. Relaxation Processes,1, 13 (1967–68) and references quoted therein.CrossRefGoogle Scholar
  18. (18).
    G. L. Braglia andL. Ferrari: to be published.Google Scholar
  19. (19).
    L. H. Holway:Phys. Fluids,10, 35 (1967).ADSCrossRefGoogle Scholar
  20. (20).
    J. L. Delcroix:Physique des plasmas, Tome2 (Paris, 1966).Google Scholar
  21. (21).
    K. E. Shuler, G. H. Weiss andK. Andersen:Journ. Math. Phys.,3, 550 (1962).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  22. (22).
    G. E. Uhlenbeck andL. S. Ornstein:Phys. Rev.,36, 823 (1930), eq. (20)).ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  23. (23).
    E. Lukacs:Fonctions caractéristiques (Paris, 1964), p. 32).Google Scholar
  24. (24).
    G. L. Braglia, G. M. de' Munari andG. Mambriani:Nuovo Cimento,41 B, 96 (1966)).ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  25. (25).
    R. May:Phys. Rev.,135, A 1009 (1964).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  26. (27).
    M. Lax:Statistical Physics, Phase Transitions and Super-Fluidity, edited byM. Chrétien, E. P. Gross andS. Deser, Vol.2 (New York, N. Y., 1968), p. 344.Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1975

Authors and Affiliations

  • G. L. Braglia
    • 1
    • 2
  1. 1.Istituto di Fisica dell’UniversitàParma
  2. 2.Istituto di Matematica dell’UniversitàParma

Personalised recommendations