Advertisement

Il Nuovo Cimento B (1971-1996)

, Volume 9, Issue 1, pp 1–40 | Cite as

A Noncommutative representation of classical dynamics. Connections with field quantization

  • J. A. Crawford
Article
  • 22 Downloads

Summary

Einstein’s program of classical field theory for physics has not been proven unrealizable. However, Bell has shown that a theory of this type could not be consistent with all of the predictions of quantum mechanics. It is reasonable to assume that fields in a theory of the Einstein type could be described as classical dynamical systems. We begin by formulating conditions for an operator representation in Hilbert space of the phase functions of a finite classical system. It is proved that such a representation cannot be commutative. The Weyl representation fulfills the required conditions: in Appendix A it is shown to map the quadratically integrable phase functions isometrically into the Hilbert-Schmidt operators. It follows that the image 77 of the phase probability density is a statistical operator in the sense of von Neumann, though not generally nonnegative definite. The Weyl representation is then formally extended to infinite classical systems and applied to interacting relativistic tensor wave fields (spinor fields, not being single valued, present difficulties). With the choiceħ =π−1, this representation satisfies the requirements of canonical quantization. The Hamiltonian operator and operators for the usual field quantities are the same as in quantum field theory. However, an additional field interaction term appears, modifying von Neumann’s equation for the time dependence ofU. Essential divergence difficulties should not arise, since no divergences occur in classical field theory. This representation of classical field theory is amenable, in just the same way as quantum field theory, to a configuration space representation and a corresponding particle interpretation. These aspects will be discussed in a later publication.

Некоммутативное пре дставление классиче ской динамики. Связь с кван тованием полей

Резюме

Не было доказано, что п рограмма Эйнштейна для классической тео рии поля в физике не являе тся реализуемой. Одна ко Белл показал, что теория эт ого Естественно предпол ожить, что поля в теори и Эйнштейновского тип а могут быть описаны к ак классические дина мические системы. Мы н ачиq классические динами ческие системы. Мы нач инаем с формулировки условий для оператор ного представления в гильбертовом простр анстве фазоq формулировки услови й для операторного пр едставления в гильбе ртовом пространстве фазовых функций коне чной классической си стемы. Доказывается, ч то такое представлен ие не может быть комму тат в гильбертовом прост ранстве фазовых функ ций конечной классич еской системы. Доказы вается, что такое пред ставление не может бы ть коммутативным. Пре дставление Вейля удо влетворяет требуемы м условиям: в Приложен ии А показывается, что это представлy классической систем ы. Доказывается, что та кое представление не может быть коммутати вным. Представление В ейля удовлетворяет т ребуемым условиям: в П риложении А показыва ется, что это представ ление отображает ква дратично интегрируе мые фазовые функции и зометрически в опера торы Гильберта-Шмиq представление не мож ет быть коммутативны м. Представление Вейл я удовлетворяет треб уемым условиям: в Прил ожении А показываетс я, что это представлен ие отображает квадра тично интегрируемые фазовые функции изом етрически в оператор ы Гильберта-Шмидта. Из этого следует, что обр аз U фазовой вероятнос тной плотности предс тавляет статистиче Представление Вейля удовлетворяет требу емым условиям: в Прило жении А показывается, что это представлени е отображает квадрат ично интегрируемые ф азовые функции изоме трически в операторы Гильберта-Шмидта. Из э того следует, что обра з U фазовой вероятност ной плотности предст авляет статистическ ий оператор в смысле ф он Неймана, хотя иногд а неотрицательно опр еделенный. Затем пред ст условиям: в Приложени и А показывается, что э то представление ото бражает квадратично интегрируемые фазов ые функции изометрич ески в операторы Гиль берта-Шмидта. Из этого следует, что образ U фаз овой вероятностной п лотности представля ет статистический оп ератор в смысле фон Не ймана, хотя иногда нео трицательно определ енный. Затем представ ление Вейля формальн о обобщается на беско нечные классические системы и применяетс я к вза представление отобр ажает квадратично ин тегрируемые фазовые функции изометричес ки в операторы Гильбе рта-Шмидта. Из этого сл едует, что образ U фазов ой вероятностной пло тности представляет статистический опер атор в смысле фон Нейм ана, хотя иногда неотр ицательно определен ный. Затем представле ние Вейля формально о бобщается на бесконе чные классические си стемы и применяется к взаимодействующим р елятивистским тензо рным волновым полям (с пинорные поля, не явля ющиеся однозначныq фазовые функции изом етрически в оператор ы Гильберта-Шмидта. Из этого следует, что обр аз U фазовой вероятнос тной плотности предс тавляет статистичес кий оператор в смысле фон Неймана, хотя иног да неотрицательно оп ределенный. Затем пре дставление Вейля фор мально обобщается на бесконечные классич еские системы и приме няется к взаимодейст вующим релятивистск им тензорным волновы м полям (спинорные пол я, не являющиеся одноз начными, представляю т трудности). Выбрав ħ = π-1, это представление удовлетворяет требо ваниям каноничес Гильберта-Шмидта. Из э того следует, что обра з U фазовой вероятност ной плотности предст авляет статистическ ий оператор в смысле ф он Неймана, хотя иногд а неотрицательно опр еделенный. Затем пред ставление Вейля форм ально обобщается на б есконечные классиче ские системы и примен яется к взаимодейств ующим релятивистски м тензорным волновым полям (спинорные поля, не являющиеся однозн ачными, представляют трудности). Выбрав ħ = π-1, это представление уд овлетворяет требова ниям канонического к вантования. Оператор Гамильтона и операто ры для обычных полевы х величин являются те ми же с вероятностной плотн ости представляет ст атистический операт ор в смысле фон Нейман а, хотя иногда неотриц ательно определенны й. Затем представлени е Вейля формально обо бщается на бесконечн ые классические сист емы и применяется к вз аимодействующим рел ятивистским тензорн ым волновым полям (спи норные поля, не являющ иеся однозначными, пр едставляют трудност и). Выбрав ħ = π-1, это пред ставление удовлетво ряет требованиям кан онического квантова ния. Оператор Гамильт она и операторы для об ычных полевых величи н являются теми же сам ыми, что и в квантовой т еории поля. Однако поя вляется дополнитель ный член взаимодейст вия пq статистический опер атор в смысле фон Нейм ана, хотя иногда неотр ицательно определен ный. Затем представле ние Вейля формально о бобщается на бесконе чные классические си стемы и применяется к взаимодействующим р елятивистским тензо рным волновым полям (с пинорные поля, не явля ющиеся однозначными, представляют трудно сти). Выбрав ħ = π-1, это пр едставление удовлет воряет требованиям к анонического кванто вания. Оператор Гамил ьтона и операторы для обычных полевых вели чин являются теми же с амыми, что и в квантово й теории поля. Однако п оявляется дополните льный член взаимодей ствия при модификаци и уравнения фон Нейма на для временной зави симости U. Существенны е трудности, q иногда неотрицатель но определенный. Зате м представление Вейл я формально обобщает ся на бесконечные кла ссические системы и п рименяется к взаимод ействующим релятиви стским тензорным вол новым полям (спинорны е поля, не являющиеся о днозначными, предста вляют трудности). Выбр ав ħ = π-1, это представле ние удовлетворяет тр ебованиям каноничес кого квантования. Опе ратор Гамильтона и оп ераторы для обычных п олевых величин являю тся теми же самыми, что и в квантовой теории п оля. Однако появляетс я дополнительный чле н взаимодействия при модификации уравнен ия фон Неймана для вре менной зависимости U. С ущественные труднос ти, связанные с расход имостями не должны во зникать, так как в клас сической теории поля не появляют представление Вейля формально обобщаетс я на бесконечные клас сические системы и пр именяется к взаимоде йствующим релятивис тским тензорным волн овым полям (спинорные поля, не являющиеся од нозначными, представ ляют трудности). Выбра в ħ = π-1, это представлен ие удовлетворяет тре бованиям каноническ ого квантования. Опер атор Гамильтона и опе раторы для обычных по левых величин являют ся теми же самыми, что и в квантовой теории по ля. Однако появляется дополнительный член взаимодействия при м одификации уравнени я фон Неймана для врем енной зависимости U. Су щественные трудност и, связанные с расходи мостями не должны воз никать, так как в класс ической теории поля н е появляются расходи мости. Это представле ние классической тео рии поля приводит так им же образом, к бесконечные классич еские системы и приме няется к взаимодейст вующим релятивистск им тензорным волновы м полям (спинорные пол я, не являющиеся одноз начными, представляю т трудности). Выбрав ħ = π-1, это представление удовлетворяет требо ваниям каноническог о квантования. Операт ор Гамильтона и опера торы для обычных поле вых величин являются теми же самыми, что и в к вантовой теории поля. Однако появляется до полнительный член вз аимодействия при мод ификации уравнения ф он Неймана для времен ной зависимости U. Суще ственные трудности, с вязанные с расходимо стями не должны возни кать, так как в классич еской теории поля не п оявляются расходимо сти. Это представлени е классической теори и поля приводит таким же образом, как в квант овой теории поля, к пре дставлению конфигур ационного пространс тва и к соответствующ ей взаимодействующим р елятивистским тензо рным волновым полям (с пинорные поля, не явля ющиеся однозначными, представляют трудно сти). Выбрав ħ = π-1, это пр едставление удовлет воряет требованиям к анонического кванто вания. Оператор Гамил ьтона и операторы для обычных полевых вели чин являются теми же с амыми, что и в квантово й теории поля. Однако п оявляется дополните льный член взаимодей ствия при модификаци и уравнения фон Нейма на для временной зави симости U. Существенны е трудности, связанны е с расходимостями не должны возникать, так как в классической те ории поля не появляют ся расходимости. Это п редставление класси ческой теории поля пр иводит таким же образ ом, как в квантовой тео рии поля, к представле нию конфигурационно го пространства и к со ответствующей части чной интерпретации. Э ти аспекты будут расс мотрены в следующей п убликации. волновым полям (спино рные поля, не являющие ся однозначными, пред ставляют трудности). В ыбрав ħ = π-1, это предста вление удовлетворяе т требованиям канони ческого квантования. Оператор Гамильтона и операторы для обычн ых полевых величин яв ляются теми же самыми, что и в квантовой теор ии поля. Однако появля ется дополнительный член взаимодействия при модификации урав нения фон Неймана для временной зависимос ти U. Существенные труд ности, связанные с рас ходимостями не должн ы возникать, так как в к лассической теории п оля не появляются рас ходимости. Это предст авление классическо й теории поля приводи т таким же образом, как в квантовой теории по ля, к представлению ко нфигурационного про странства и к соответ ствующей частичной и нтерпретации. Эти асп екты будут рассмотре ны в следующей публик ации. однозначными, предст авляют трудности). Выб рав ħ = π-1, это представл ение удовлетворяет т ребованиям канониче ского квантования. Оп ератор Гамильтона и о ператоры для обычных полевых величин явля ются теми же самыми, чт о и в квантовой теории поля. Однако появляет ся дополнительный чл ен взаимодействия пр и модификации уравне ния фон Неймана для вр еменной зависимости U. Существенные трудно сти, связанные с расхо димостями не должны в озникать, так как в кла ссической теории пол я не появляются расхо димости. Это представ ление классической т еории поля приводит т аким же образом, как в к вантовой теории поля, к представлению конф игурационного прост ранства и к соответст вующей частичной инт ерпретации. Эти аспек ты будут рассмотрены в следующей публикац ии. это представление уд овлетворяет требова ниям канонического к вантования. Оператор Гамильтона и операто ры для обычных полевы х величин являются те ми же самыми, что и в кв антовой теории поля. О днако появляется доп олнительный член вза имодействия при моди фикации уравнения фо н Неймана для временн ой зависимости U. Сущес твенные трудности, св язанные с расходимос тями не должны возник ать, так как в классиче ской теории поля не по являются расходимос ти. Это представление классической теории поля приводит таким ж е образом, как в кванто вой теории поля, к пред ставлению конфигура ционного пространст ва и к соответствующе й частичной интерпре тации. Эти аспекты буд ут рассмотрены в след ующей публикации. канонического квант ования. Оператор Гами льтона и операторы дл я обычных полевых вел ичин являются теми же самыми, что и в квантов ой теории поля. Однако появляется дополнит ельный член взаимоде йствия при модификац ии уравнения фон Нейм ана для временной зав исимости U. Существенн ые трудности, связанн ые с расходимостями н е должны возникать, та к как в классической т еории поля не появляю тся расходимости. Это представление класс ической теории поля п риводит таким же обра зом, как в квантовой те ории поля, к представл ению конфигурационн ого пространства и к с оответствующей част ичной интерпретации. Эти аспекты будут рас смотрены в следующей публикации. операторы для обычны х полевых величин явл яются теми же самыми, ч то и в квантовой теори и поля. Однако появляе тся дополнительный ч лен взаимодействия п ри модификации уравн ения фон Неймана для в ременной зависимост и U. Существенные трудн ости, связанные с расх одимостями не должны возникать, так как в кл ассической теории по ля не появляются расх одимости. Это предста вление классической теории поля приводит таким же образом, как в квантовой теории пол я, к представлению кон фигурационного прос транства и к соответс твующей частичной ин терпретации. Эти аспе кты будут рассмотрен ы в следующей публика ции. же самыми, что и в квант овой теории поля. Одна ко появляется дополн ительный член взаимо действия при модифик ации уравнения фон Не ймана для временной з ависимости U. Существе нные трудности, связа нные с расходимостям и не должны возникать, так как в классическо й теории поля не появл яются расходимости. Э то представление кла ссической теории пол я приводит таким же об разом, как в квантовой теории поля, к предста влению конфигурацио нного пространства и к соответствующей ча стичной интерпретац ии. Эти аспекты будут р ассмотрены в следующ ей публикации. появляется дополнит ельный член взаимоде йствия при модификац ии уравнения фон Нейм ана для временной зав исимости U. Существенн ые трудности, связанн ые с расходимостями н е должны возникать, та к как в классической т еории поля не появляю тся расходимости. Это представление класс ической теории поля п риводит таким же обра зом, как в квантовой те ории поля, к представл ению конфигурационн ого пространства и к с оответствующей част ичной интерпретации. Эти аспекты будут рас смотрены в следующей публикации. модификации уравнен ия фон Неймана для вре менной зависимости U. С ущественные труднос ти, связанные с расход имостями не должны во зникать, так как в клас сической теории поля не появляются расход имости. Это представл ение классической те ории поля приводит та ким же образом, как в кв антовой теории поля, к представлению конфи гурационного простр анства и к соответств ующей частичной инте рпретации. Эти аспект ы будут рассмотрены в следующей публикаци и. зависимости U. Существ енные трудности, связ анные с расходимостя ми не должны возникат ь, так как в классическ ой теории поля не появ ляются расходимости. Это представление кл ассической теории по ля приводит таким же о бразом, как в квантово й теории поля, к предст авлению конфигураци онного пространства и к соответствующей ч астичной интерпрета ции. Эти аспекты будут рассмотрены в следую щей публикации. расходимостями не до лжны возникать, так ка к в классической теор ии поля не появляются расходимости. Это пре дставление классиче ской теории поля прив одит таким же образом, как в квантовой теори и поля, к представлени ю конфигурационного пространства и к соот ветствующей частичн ой интерпретации. Эти аспекты будут рассмо трены в следующей пуб ликации. классической теории поля не появляются ра сходимости. Это предс тавление классическ ой теории поля привод ит таким же образом, ка к в квантовой теории п оля, к представлению к онфигурационного пр остранства и к соотве тствующей частичной интерпретации. Эти ас пекты будут рассмотр ены в следующей публи кации. Это представление кл ассической теории по ля приводит таким же о бразом, как в квантово й теории поля, к предст авлению конфигураци онного пространства и к соответствующей ч астичной интерпрета ции. Эти аспекты будут рассмотрены в следую щей публикации. таким же образом, как в квантовой теории пол я, к представлению кон фигурационного прос транства и к соответс твующей частичной ин терпретации. Эти аспе кты будут рассмотрен ы в следующей публика ции. представлению конфи гурационного простр анства и к соответств ующей частичной инте рпретации. Эти аспект ы будут рассмотрены в следующей публикаци и. соответствующей час тичной интерпретаци и. Эти аспекты будут ра ссмотрены в следующе й публикации. будут рассмотрены в с ледующей публикации.

Riassunto

Non si è dimostrato che il programma cinstciniano di una teoria dei campi clasica in fisica è irrealizzabile. Pero Bell ha dimostrato die una teoria di questo tipo non potrebbe essere in accordo con tutte le predizioni della meccanica quantistica. È ragionevole supporre che in una teoria del tipo di quelle di Einstein i campi possano essere descritti come sistemi dinamici classici. Si comincia. formulando le condizioni per una rappresentazione nello spazio hilbertiano delle funzioni di fase di un sistema classico finito. Si dimostra che una tale rappresentazione non può essere commutativa. La rappresentazione di Weyl soddisfa le condizioni richieste: nell’Appendice A si mostra che rappresenta le funzioni di fase integrabili quadraticamente isometricamente negli operatori di Hilbert-Schmidt. No segue che l’immagineU della densità di probabilità di fase è un operatore statistico nel senso di von Neumann, quantunque in generale esso non sia non negativo definito. Si estende allora formalmente la rappresentazione di Weyl a sistemi classici infiniti e la si applica a campi d’onda tensoriali relativistici interagenti (i campi spinoriali. non essendo a valore unico, presentano dello difficoltà). Con la sceltaħ =π−1, questa rappresentazione soddisfa le condizioni per la quantizzazione canonica. L’operatore hamiltoniano e gli operatori delle usuali grandezze del campo sono uguali a quelli della teoria quantistica dei campi. Però compare un ulteriore termine dell’interazione dei campi, che modifica l’equazione di von Neumann per la dipendenza di U dal tempo. Non dovrebbero sorgere; essenziali difficoltá di divergenza, poiché non vi sono divergenz nella teoria classica dei campi. Questa rappresentazione della teoria classica dei campi e riconducibile, proprio nello stesso modo della teoria quantistica dei campi, ad una rappresentazione nello spazio delle configurazioni ed alla corrispondente interpretazione con particelle. Si discuteranno questi aspetti in una pubblicazione successiva.

Preview

Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.

References

  1. (1).
    P. A. M. Dirac:Proc. Roy. Soc.,114, 243 a, 710 (1927).ADSCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    A. Einstein:Albert Einstein: Philosopher-Scientist, edited byP. A. Schilfp (New York, 1951), p. 675.Google Scholar
  3. (3).
    J. S. Bell:Physics,1, 195 (1964);Proc. S.I.F., Course IL (New York, 1972), p. 170.Google Scholar
  4. (4).
    J. F. Clauser, M. A. Horne, A. Shimony andR. A. Holt:Phys. Rev. Lett.,23, 880 (1969). Other possible violations are discussed byP. M. Pearle:Phys. Rev. D,2, 1418 (1970).ADSCrossRefGoogle Scholar
  5. (5).
    J. von Neumann :Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (Princeton, 1955), p. 313.Google Scholar
  6. (6).
    J. von Neumann:Mathematical Foundations of Quantum Mechanics (Princeton, 1955), p. 316.Google Scholar
  7. (7).
    N. Dunford andJ. T. Schwartz:Linear Operators (New York, 1963), p. 905.Google Scholar
  8. (8).
    J. E. Moyal:Proc. Cambridge Phil. Soc.,45, 99 (1949).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  9. (9).
    G. A. Baker:Phys. Rev.,109, 2198 (1958).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    J. C. T. Pool:Jour. Math. Phys.,7, 66 (1966).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  11. (12).
    H. Weyl:The Theory of Groups and Quantum Mechanics (New York, 1931), p. 275.Google Scholar
  12. (13).
    G. Wentzel:Quantum Theory of Fields (New York, 1949), p. 12.Google Scholar
  13. (14).
    G. Wentzel:Quantum Theory of Fields (New York, 1949), p. 51, 123.Google Scholar
  14. (15).
    G. Wentzel:Quantum Theory of Fields (New York, 1949), p. 4. This statement is true also for all of the usual field quantities.Google Scholar
  15. (17).
    G. Wentzel:Quantum Theory of Fields (until 1947), Theoretical Physics in the Twentieth Century, edited byFierz, Marcus and Weisskopf (New York, 1960), p. 48.Google Scholar
  16. (18).
    J. G. Sinai:Dokl. Akad. Nauk SSSR,153, 1261 (1963).Google Scholar
  17. (19).
    A. I. Khinchin:Mathematical Foundations of Statistical Mechanics (New York, 1949), p. 56.Google Scholar
  18. (20).
    A. Blanc-Lapierre,P. Casal andA. Tortrat:Méthods mathématiques de la mécanique statistique (Paris, 1959), p. 61.Google Scholar
  19. (21).
    E. Brout andI. Prigogine:Physica,22, 35 (1956).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  20. (22).
    P. Bocchieri andA. Loinger:Lett. Nuovo Cimento,4, 310 (1970).CrossRefGoogle Scholar
  21. (23).
    M. H. Stone:Linear Transformations in Hilbert space (New York, 1964), p. 58.Google Scholar
  22. (24).
    M. H. Stone:Linear Transformations in Hilbert Space (New York, 1964), p. 3.Google Scholar
  23. (25).
    M. H. Stone:Linear Transformations in Hilbert Space (New York, 1964), p. 64.Google Scholar
  24. (26).
    W. O. Kermack andW. H. McCrea:Proc. Edinburg Math. Soc.,2, 224 (1931).MATHGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1972

Authors and Affiliations

  • J. A. Crawford
    • 1
  1. 1.Berkeley

Personalised recommendations