Il Nuovo Cimento A (1965-1970)

, Volume 97, Issue 6, pp 801–836 | Cite as

A mathematical method for dealing with the nucleon eigenvalue problem in finite nuclei

II. — Shell model solutions of the homogeneous fredholm’s equation
  • T. A. Minelli
  • A. Pascolini
  • C. Villi


Nucleon eigenvalues in finite nuclei are evaluated by means of a variation-iteration method applied to the homogeneous Fredholm’s equation in momentum space. The shell model potential deduced in preceding papers is used; its remarkable feature is that, except for the spin-orbit coupling constant, no other parameters are left free for phenomenological fits. The method relies on the fact that the value of the shell model potential atr=0 is known. The validity of the potential and the reliability of the method are extensively tested assuming40Ca as a paradigm. It has been proved that the eigenvalues calculated with the potential, and with its lowest approximation expressed by a quartic potential, differ by less than few percent. Finally, a simple approximate procedure for calculating nucleon eigenvalues is outlined using the Bohr-like description of the shell model and the concept of equivalent harmonicoscillator potential, discussed in part I of this paper.


PACS 21.60.Cs. Shell model 

Математический метод рассмотрения проблемы собственных эначений нуклонов в конечных ядрах

II. Рещения оболочечной модели для однородного уравнения Фредгольма


Вычисляются собственные эначения нуклонов в конечных ядрах, испольэуя вариационно-итерац ионный метод, который применяется к однородному уравнению Фредгольма в импульсном пространстве. Испольэуется потенциал оболоченой модели, полученный в предыдушей работе. Сушетсвенная особенность зтого потенциала состоит в том, что кроме константы спин-орбитальной свяэи не сушествует других свободных параметров. Предложенный метод основан на том, что эначение потенциала оболочечной модели приr = 0 иэвестно. Проверяются справедливость потенциала и применимость метода, предполагая как парадигму40Ca. Докаэывается, что вычисленные собственные эначения с помошью предложенного потенциала и с помошью ниэщего приближения, выраженного квадратичным потенциалом, отличаются на несколько процентов. В эаключение, предлагается простая приближенная процедура для вычисления собственных эначений нуклонов, испольэуя описание модели оболочек типа Бора и концепцию потенциала зквивалентного гармонического осциллятора, которая обсуждалась в первой части зтой статьи.


Si calcolano gli autovalori dei nucleoni in un nucleo finito per mezzo di un metodo variazionale iterativo applicato all’equazione omogenea di Fredholm nello spazio dei momenti. Si usa il potenziale di modello a strati dedotto in precedenti lavori; un aspetto particolare del problema è che, ad eccezione della costante di accoppiamento spin-orbita, non esistono altri parametri liberi. Il metodo si fonda essenzialmente sul fatto che il valore del potenziale di modello a strati all’origine è noto. La validità del potenziale e l’attendibilità del metodo sono ampiamente verificati assumendo come paradigma il40Ca. È stato provato che gli autovalori calcolati con tale potenziale nell’approssimazione piú bassa del metodo variazionale iterativo sono ottenibili tramite un potenziale quartico con un’approssimazione di qualche percento. Infine, si delinea un semplice procedimento approssimato per il calcolo degli autovalori usando la descrizione del modello a strati di tipo Bohr e il concetto di oscillatore armonico equivalente discussi nella parte I di questa ricerca.


Unable to display preview. Download preview PDF.

Unable to display preview. Download preview PDF.


  1. (1).
    T. A. Minelli, A. Pascolini andC. Villi:Nuovo Cimento A,96, 127 (1986); this paper will be referred to as I.MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  2. (2).
    T. A. Minelli, A. Pascolini andC. Villi:Nuovo Cimento A,90, 185 (1985).CrossRefADSGoogle Scholar
  3. (3).
    T. A. Minelli, A. Pascolini andC. Villi:Nuovo Cimento A,91, 106 (1986).Google Scholar
  4. (4).
    W. V. Lovitt:Linear Integral Equations (New York, N.Y., 1950).Google Scholar
  5. (5).
    The formulation of the variation-iteration method, presented in this paper, has been carried out by taking into account related works byO. P. Kellog:Math. Ann.,86, 14 (1922);L. H. Thomas:Phys. Rev.,45, 903 (1935);L. H. Thomas:Phys. Rev.,51, 202 (1937);L. Collatz:Math. Z.,46, 692 (1940);C. Villi:Atti Mem. Accad. Patav. Sci., Lett. Arti, Vol.92, 61 (1979–1980) (Classe di Scienze Matematiche e Naturali).MathSciNetCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    A. Korn andJ. Korn:Mathematical Handbook (New York, N.Y., 1961).Google Scholar
  7. (7).
    It is interesting to compare the procedure outlined in this paper with those developed by other authors and, in particular, byL. Hulthen andK. V. Laurikainen:Rev. Mod. Phys.,23, 1 (1951).MathSciNetCrossRefADSGoogle Scholar
  8. (8).
    A. Bohr andB. R. Mottelson:Nuclear Structure, Vol.1 (W. A. Benjamin, New York, N.Y., 1969), p. 238.Google Scholar
  9. (9).
    J. W. Watson, M. Ahmad, D. W. Devins, B. S. Flanders, D. L. Friesel, N. J. Chant, P. G. Roos andJ. Wastell:Phys. Rev. C,26, 961 (1982).CrossRefADSGoogle Scholar
  10. (10).
    See, for example, inE. Kamke:Differentialgleichungen Lösungsmethoden und Lösungen, Band 1 (Leipzig, 1951), p. 403, the comments on the method for solving a class of equations including the Schrödinger one-dimensional equation with a quartic potential suggested byA. C. Banerji andP. L. Bhatnagar:Proceedings of the Academy of Allahabad, Vol.8 (1938), p. 85.Google Scholar
  11. (11).
    The classical mechanics problem with a quartic radial potential is solvable in terms of trascendental functions which would hide a parametrization of the orbit. A survey of quartic potentials in classical mechanics is given, for example, inS. Wojciechowski:Review of recent results on integrability of natural Hamiltonian systems, preprint Li TH-Mat-R85-24, Institute of Technology of the Linköping University.Google Scholar
  12. (12).
    T. A. Minelli, A. Pascolini andC. Villi:Nuovo Cimento A,87, 261 (1985).CrossRefADSMATHGoogle Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1987

Authors and Affiliations

  • T. A. Minelli
    • 1
    • 2
  • A. Pascolini
    • 1
    • 2
  • C. Villi
    • 1
    • 2
  1. 1.Dipartimento di Fisica dell’UniversitàPadova
  2. 2.Istituto Nazionale di Fisica NucleareSezione di Padova

Personalised recommendations