On the nonpositivity of the diagonal coherent-state representation

Summary

The definition of theP-representation for certain normal states of theC ^*-algebra of the CCR and its consequences for a finite and an infinite number of degrees of freedom is studied. It is explicitly shown that the weight function appearing in the integral representation of the finite-dimensional density matrix can take negative values on sets of nonzero measure. For the infinite system, a probabilistic interpretation of normal states imposes consistency conditions on the family of finite-dimensional density matrices, which do not, in general, eliminate the nonpositivity of these weight functions.

Riassunto

Si studia la definizione di rappresentazioneP per alcuni stati normali dell'algebraC ^* del CCR e le sue conseguenze per un numero di gradi di libertr finito e infinito. Si mostra esplicitamente che la funzione peso che compare nella rappresentazione integrale della matrice di densità con dimensioni finite può assumere valori negativi su insiemi di misura non nulla. Per il sistema infinito un'interpretazione probabilistica degli stati normali impone condizioni di coerenza sulla famiglia di matrici di densità con dimensioni finite, che in generale non eliminano la non positività di queste funzioni peso.

Резюме

Исследуются опрелениеP-представления для некоторых нормальных состоянийC ^*-алгебры для CCP и следствия этого определения для случая конечного и бесконечного числа степеней свободы. В явном виде показывается, что весовая функция, появляющаяся в интегральном представлении конечномерной матрицы плотности, может принимать отрицательные значения на множестве ненулевой меры. Для бесконечной системы вероятностная интерпретация нормальных состояний накладывает условия непротиворечивости на семейство конечномерных матриц плотности, которые, вообще говогя, не устраняют неположительность этих весовых функций.