Advertisement

On the gradient expansions of the kinetic and exchange energy density functionals

  • O. H. Mobarek
Article

Summary

A gradient expansion for the total kinetic energy was derived. We imposed the condition that the densities should be a slowly varying function. It is applicable up to the fourth order in ▿n. The leading terms are the same as those of Thomas-Fermi and Weizsäcker. The fourth-order term is in good agreement with the nonlinear response part of Hodges correction. A small term,Y[n], has been added to the derived gradient expansion. A new formula for the total kinetic energy with full nonlinear response is achieved as a result. The same method is applied to the exchange energy functional, where the well-known gradient expansion has been found but it differs only in the numerical coefficients. Divergent terms have been found in both expansions.

Keywords

PACS 31.30 Corrections to electronic structure 

О градиентном разложении функционалов плотности кинетической и обменной энергий

Резюме

Выводится градиентное разложение для полной кинетической энергии. Мы накладываем условие, что плотности должны быть медленно меняющимися функциями. Разложение применимо вплоть до четвертого порядка по ▿n. Главные члены оказываются такими же, как члены Томаса-ферми и Вайцзекера. Член четвертого порядка хорошо согласуется с поправкой к нелинейному отклику. Малый член,Y[n], добавляется к полученному градиентному разложению. Выводится новая формула для полной кинетической энергии с полным нелинейным откликом. Предложенный метод также применяется к функционалу обменной энергии, где получается хорошо известное градиентное разложение, которое отличается только численными коэффициентами. В обоих разложениях определяются расходящиеся члены.

Riassunto

Si deduce un’espansione del gradiente per l’energia cinetica totale. Si è imposta la condizione che le densità siano una funzione che varia debolmente. Ciò è applicabile al quarto ordine in ▾n. I termini iniziali sono gli stessi di quelli di Thomas-Fermi e di Weizsäcker. Il termine di quart’ordine è in buon accordo con la parte di risposta non lineare della correzione di Hodges. Si è aggiunto un termine ridotto,Y[n], all’espansione del gradiente dedotta. Si ottiene come risultato una nuova formula per l’energia cinetica totale con risposta intera non lineare. Lo stesso metodo è applicato al funzionale d’energia di scambio dove si è trovata la nota espansione del gradiente, ma differisce solo nei coefficienti numerici. In entrambe le espansioni sono stati trovati termini divergenti.

References

  1. (1).
    P. Hohenberg andW. Kohn:Phys. Rev. B,136, 864 (1964).MathSciNetADSCrossRefGoogle Scholar
  2. (2).
    W. Kohn andL. J. Sham:Phys. Rev. A,140, 1133 (1965).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  3. (3).
    L. H. Thomas:Proc. Cambridge Philos Soc.,23, 542 (1929).ADSCrossRefGoogle Scholar
  4. (4).
    E. Fermi:Z. Phys.,48, 73 (1928).ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  5. (5).
    C. F. von Weizsächer:Z. Phys.,96, 431 (1935).ADSCrossRefGoogle Scholar
  6. (6).
    S. Golden:Phys. Rev.,105, 604 (1957).MathSciNetADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  7. (7).
    J. Goodisman:Phys. Rev. A, 1574 (1970).Google Scholar
  8. (8).
    R. Berg andL. Wilets:Proc. Phys. Soc. London,68, 229 (1955).ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  9. (9).
    P. Gombas:Acta Phys. Acad. Sci. Hung,25, 361 (1968).CrossRefGoogle Scholar
  10. (10).
    A. S. Kompanyets andE. S. Pavlovskii:J. Exp. Theor. Phys. (JETP),4, 328, (1957).Google Scholar
  11. (11).
    C. H. Hodges:Can. J. Phys.,51, 1424 (1957).Google Scholar
  12. (12).
    D. A. Kirzhnitz:Ž. Ėksp. Teor. Fiz.,32, 115 (1957).Google Scholar
  13. (13).
    D. R. Murphy:Phys. Rev. A,24, 1682 (1981).ADSCrossRefGoogle Scholar
  14. (14).
    F. Herman, J. P. Van Dyke andI. B. Ortenburger:Phys. Rev. Lett.,22, 807 (1969).ADSCrossRefGoogle Scholar
  15. (15).
    F. Herman, J. P. Van Dyke andI. B. Ortenburger,Int. J. Quantum Chem.,3 S, 827 (1970).Google Scholar
  16. (16).
    L. J. Sham:Computational methods in Band Theory, edited byP. Marcus, J. F. Janak andA. R. Williams (Plenum Press, New York, N. Y., 1971).Google Scholar
  17. (17).
    R. Gaspar:Acta Phys. Acad. Sci. Hung.,3, 263 (1954).MathSciNetCrossRefMATHGoogle Scholar
  18. (18).
    V. Sahni, J. Gruenebaum andJ. P. Perdew:Phys. Rev. B,26, 4371 (1982).ADSCrossRefMATHGoogle Scholar
  19. (19).
    C. Q. Ma andV. Sahni:Phys. Rev. B,16, 4249 (1977).ADSCrossRefGoogle Scholar
  20. (20).
    J. P. Perdew: Private communication.Google Scholar
  21. (21).
    E. H. Lieb andW. E. Thirring:Phys. Rev. Lett.,35, 687 (1975).ADSCrossRefGoogle Scholar
  22. (22).
    J. C. Slater:Phys. Rev.,81, 385 (1954).ADSCrossRefGoogle Scholar
  23. (23).
    E. H. Lieb andE. Oxford:Int. J. Quantum Chem.,19, 427 (1981).CrossRefGoogle Scholar
  24. (24).
    J. P. Perdew andD. Langreth:Solid State Commun.,31, 567 (1979).ADSCrossRefGoogle Scholar
  25. (25).
    W. P. Wang, R. G. Parr, D. R. Murphy andG. A. Henderson:Chem. Phys. Lett.,43, 409 (1976).ADSCrossRefGoogle Scholar
  26. (26).
    Chapter two in unpublished thesis submitted byO. H. Mobarek to the Physics Department of Tulane University, for the degree of Doctor of Philosophy (1984).Google Scholar
  27. (27).
    C. O. Almbladh andA. C. Pedroza:Phys. Rev. A,29, 2322 (1982).ADSCrossRefGoogle Scholar
  28. (28).
    D. R. Murphy andW. Wang:J. Chem. Phys.,72, 429 (1980).ADSCrossRefGoogle Scholar
  29. (29).
    C. C. Shih, D. R. Murphy andW. Wang:J. Chem. Phys.,73, 1340 (1980).ADSCrossRefGoogle Scholar
  30. (30).
    H. Goldstein:Classical Mechanics (Addison-Wesley Publishing Company, Inc., Philippines, 1965).Google Scholar

Copyright information

© Società Italiana di Fisica 1988

Authors and Affiliations

  • O. H. Mobarek
    • 1
  1. 1.Department of PhysicsTulane UniversityNew Orleans

Personalised recommendations