On the unphysical region in dispersion relations

Summary

Conditions on the masses of four particles are written down such that present methods can prove inelastic dispersion relations for processes of the type A+B → C+D. One necessary condition is that both elastic relations A+B → A′+B′ and C+D → C′+D′ can be proved for forward scattering at least. The masses of p n π⁻ π⁰ satisfy the conditions, and also photomeson production, and the model K-meson systemK=3Π/2, Λ ≏N (where these are the masses of the particles). Using dispersion relations and the unitarity condition for the unphysical region of this model system, integral equations for the unphysical region in KN → Aπ relations are obtained; these equations have solutions in terms of physicalS matrix elements. It is also possible to set up a model KN → KN system such that the usual dispersion relations can be proved by present methods, and also all the inelastic relations which the method of this paper needs in order to interpret the unphysical region. However, a model can be constructed such that dispersion relations can be proved, but such that their unphysical region cannot be interpreted by present methods.

Riassunto

Si scrivono le condizioni imposte alle masse di quattro particelle in modo tale che coi metodi oggi in uso si possono dimostrare le relazioni di dispersione per processi del tipo A+B → C+D. Una condizione necessaria è che si possano dimostrare le due relazioni elastiche A+B → A′+B′ e C+D → C′+D′ almeno per lo scattering in avanti. Le masse del p, n, π⁻, π⁰ soddisfano alle suddette condizioni ed anche alla produzione dei fotomesoni, ed al modello del sistema dei mesoni K,K=3Π/2, Π ≏N (dove queste sono le masse delle particelle). Servendosi delle relazioni di dispersione e della condizione di unitarietà per la regione non fisica di questo sistema preso come modello, si ottengono delle equazioni integrali per la regione non fisica, in KN → Λπ; si hanno soluzioni di tali equazioni in termini di elementi di matriceS fisici. Si può anche costruire un modello di sistema KN → KN che consente di dimostrare con metodi usuali le consuete relazioni di dispersione ed anche tutte le relazioni anelastiche che nel metodo seguito dal presente lavoro occorrono per descrivere la regione non fisica. Tuttavia, si può costruire un modello che consente di provare le relazioni di dispersione, ma tale che la loro regione non fisica non può essere descritta coi metodi attuali.