On the regularization and renormalization of certain anomalous ward identities in meson-nucleon dynamics

Summary

Two simple possibilities of perturbation-theoretical realizations of the generalized Ward identities (W.I.) of the axial-vector current in meson-nucleon dynamics are considered. In both cases the single pionfermion loop leads to anomalies, if one compares the field-theoretical generalized W.I. with the actual perturbation-theoretical computation. It will be shown that for the first example, using the point-splitting technique, we get a more precise description of these anomalies. In accordance with a conjecture in an earlier paper, we discuss here two possibilities to cancel the anomalous terms of the W.I. One of them consists in applying the subtraction method of Bardeen plus a Pauli-Villars-type regularization, which has the desired effect but seems somewhat arbitrary. Then we incorporate the first results in the simplest second-order calculation. It is demonstrated explicitly that the Preparata-Weisberger argument for the finiteness of the ratiosZ ₂/Z _A andm ₀ Z ₂/Z _D of the renormalization constants is true only for the «proper» vertex function with the «pion self-energy» loop (together with its possible anomaly) excluded. Contrary to statements in the recent literature the loop graph with or without anomaly does not participate in this relation so that unfortunately no further information can be obtained on the anomaly.

Riassunto

Si studiano due semplici possibilità di realizzare in teoria delle perturbazioni le identità di Ward generalizzate della corrente vettoriale assiale nella dinamica mesonenucleone. In entrambi i casi il singolo nodo pione-fermione porta ad anomalie, se si confrontano le identità di Ward generalizzate della teoria dei campi con i calcoli effettivi della teoria delle perturbazioni. Si dimostrerà che per il primo esempio, facendo uso della tecnica della separazione dei punti, si ottiene una descrizione più esatta di queste anomalie. D’accordo con una congettura fatta in un articolo precedente, si discutono qui due possibilità di sopprimere i termini anomali delle identità di Ward. Una di esse consiste nell’applicare il metodo di sottrazione di Bardeen più una regolarizzazione del tipo di Pauli-Villars; essa ha l’effetto desiderato ma sembra alquanto arbitraria. Quindi si incorporano i primi risultati nel più semplice dei calcoli di secondo ordine. Si dimostra esplicitamente che l’argomento di Preparata-Weisberger per cui i rapportiZ ₂/Z _A em ₀ Z ₂/Z _D delle costanti di rinormalizzazione sono finiti è vero solo per la funzione di vertice «propria» da cui è escluso il nodo dell’«autoenergia del pione» (insieme con la sua possibile anomalia). Contrariamente a quanto affermato in recenti articoli il grafico del nodo con o senza anomalia non partecipa a questa relazione cosicché sfortunatamente non si possono avere ulteriori informazioni sull’anomalia.

Реэюме

Рассматриваются две простые воэможности реалиэаций в рамках теории воэмушений обобшенных тождеств Уорда для аксиально-векторного тока в меэон-нуклонной динамике. В обоих случаях отдельная пион-фермионная петля приводит к аномалиям, если сравнить обобшенные тождества Уорда в теории поля с фактически вычисленными в рамках теории воэмушений. В первом случае будет покаэано, что, испольэуя специальную технику, мы получаем более точное описание таких аномалий. В соответствии с предположением, сделанным в предыдушей работе, мы обсуждаем эдесь две воэможности вэаимного уничтожения аномальных членов тождеств Уорда, одна нэ которых эаключается в применении метода вычитания Бардина плюс регуляриэация типа Паули-Вилларся, которая дает желаемый зффект, но, по-видимому, является до некоторой степени проиэвольной. Затем мы общединяем первые реэультаты в простейщем вычислении второго порядка. Явным обраэом покаэывается, что аргумент Препарата-Вейсберг ера для конечности отнощений постоянных перенормировкиZ ₂ /Z _А ит ₀ Z ₂ /Z _D является правильным только для «соответствуюшей» верщинной функции в том случае, когда исключена петля «собственной знергии пиона» (вместе с воэможной аномалией). В противоположность утверждениям в недавней литературе, график с петлей, который содержит или не содержит аномалии, не участвует в зтом соотнощении, так что, к сожалению, невоэможно получить дополнительную информацию об зтой аномалии.