On a method for computing eigenvalues and eigenfunctions of linear differential operators

Summary

In this paper a simple method is presented to compute the eigenvalues and the eigenfunctions of second-order linear differential operators, with homogeneous boundary conditions, both in a finite interval and on the semi-line. Our technique overcomes the drawbacks of the method proposed by Calogero to compute the eigenvalues of Stürm-Liouville problems in a finite interval. An estimate of the convergence for the eigenvalues is given in the finite case and numerical tests are performed, exhibiting a very fast rate of convergence for the eigenvalues both for the finite interval and the semi-line cases. An excellent convergence for the eigenfunctions is also obtained in both cases.

Riassunto

In questo lavoro si presenta un metodo semplice per calcolare gli autovalori e le autofunzioni di operatori differenziali lineari del secondo ordine, con condizioni al contorno omogenee, sia in un intervallo finito che sulla semiretta. La nostra tecnica supera gli inconvenienti del metodo proposto da Calogero per calcolare gli autovalori di problemi di Sturm-Liouville in un intervallo finito. Viene data una stima della convergenza per gli autovalori nel caso finito e si compiono prove numeriche, mettendo in evidenza una velocità di convergenza molto elevata per gli autovalori, sia nel caso dell'intervallo finito che nel caso della semiretta. In entrambi i casi anche per le autofunzioni si ottiene una convergenza eccellente.

Резюме

В этой работе предлагается простой метод для вычисления собственных значений и собственных функций линейных дифференциальных операторов второго порядка с однородными граничиыми условиями в случае конечного интервала и полу-прямой. Наша техника позволяет обойти недостатки метода, переложенного в работе для вычисления собственных значений для проблемы Штурма-Лиувилля на конечном интервале. Приводится оценка сходимости собственных значений в конечном случае. Выполняется численное тестирование, показывающее очень быструю сходимость для собственных значений в случае конечного интервала и в случае полу-прямой. В обоих случаях получается хорошая сходимость для собственных функций.